Partie I | Partie II | Partie III | Partie IV
Partie III. Étude du cas général
Dans cette partie, on suppose que {q\ge 2} est fixé.
| Question III.1.(a) Montrer que la suite {(u_n)_{n\ge1}} vérifie la relation :{(R_q) : \forall\, n\ge q,\; u_{n}=5\displaystyle\sum_{k=1}^{q-1}u_{n-k}}(considérer le dernier résultat d’un {n}-jeu {q}-chanceux : par combien de résultats successifs identiques à celui-ci le {n}-jeu a-t-il bien pu se terminer?) |
| Question III.1.(b) Montrer alors que : {\forall\,n\ge q,\;p_n=5\displaystyle\sum_{k=1}^{q-1}\dfrac{p_{n-k}}{6^k}}. En déduire : {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}p_n=0}. |
On note {(E_q)} l’équation :{\begin{array}{rl}x^{q-1}&=5(x^{q-2}+x^{q-3}+\cdots+x+1)\\[6pt]&=5\displaystyle\sum_{k=2}^{q}x^{q-k}\end{array}}
| Question III.2.(a) Montrer que {(E_q)} équivaut à {\begin{cases}x^q\!-\!6x^{q-1}\!+\!5=0\cr x\ne 1\end{cases}} |
| Question III.2.(b) En étudiant {f_q :x\mapsto x^q-6x^{q-1}+5} sur {\mathbb{R}^+}, montrer que {(E_q)} admet une solution réelle positive unique {\lambda_q}, et que {5\le\lambda_q\lt 6}. |
On va utiliser la question précédente pour améliorer le résultat de I.2.(b)
| Question III.3.(a) Montrer que la suite de terme général {w_n=\lambda_q^n} vérifie la relation {(R_q)}. |
| Question III.3.(b) Montrer alors que {u_n>\lambda_q^n} pour tout {n\ge1}. Qu’en déduit-on pour la suite {(p_n)_{n\ge1}}? |
| Question III.3.(c) Application numérique. Pour {q=5}, on trouverait {\lambda_q\approx 5.996132011}. En déduire que tant que {n\le1000} la probabilité qu’un {n}-jeu soit {5}-chanceux est supérieure à {1/2}. |
| Question III.3.(d) Écrire une procédure calculant {p_n} quand {q=5}. À partir de quel {n} a-t-on {p_n\lt \dfrac12}? |