Lancers de dés chanceux (3/4)

Partie I | Partie II | Partie III | Partie IV


Partie III. Étude du cas général

Dans cette partie, on suppose que {q\ge 2} est fixé.

Question III.1.(a)
Montrer que la suite {(u_n)_{n\ge1}} vérifie la relation :{(R_q) : \forall\, n\ge q,\; u_{n}=5\displaystyle\sum_{k=1}^{q-1}u_{n-k}}(considérer le dernier résultat d’un {n}-jeu {q}-chanceux : par combien de résultats successifs identiques à celui-ci le {n}-jeu a-t-il bien pu se terminer?)
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question III.1.(b)
Montrer alors que : {\forall\,n\ge q,\;p_n=5\displaystyle\sum_{k=1}^{q-1}\dfrac{p_{n-k}}{6^k}}.
En déduire : {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}p_n=0}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).

On note {(E_q)} l’équation :{\begin{array}{rl}x^{q-1}&=5(x^{q-2}+x^{q-3}+\cdots+x+1)\\[6pt]&=5\displaystyle\sum_{k=2}^{q}x^{q-k}\end{array}}

Question III.2.(a)
Montrer que {(E_q)} équivaut à {\begin{cases}x^q\!-\!6x^{q-1}\!+\!5=0\cr x\ne 1\end{cases}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question III.2.(b)
En étudiant {f_q :x\mapsto x^q-6x^{q-1}+5} sur {\mathbb{R}^+}, montrer que {(E_q)} admet une solution réelle positive unique {\lambda_q}, et que {5\le\lambda_q\lt 6}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).

On va utiliser la question précédente pour améliorer le résultat de I.2.(b)

Question III.3.(a)
Montrer que la suite de terme général {w_n=\lambda_q^n} vérifie la relation {(R_q)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question III.3.(b)
Montrer alors que {u_n>\lambda_q^n} pour tout {n\ge1}.
Qu’en déduit-on pour la suite {(p_n)_{n\ge1}}?
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question III.3.(c)
Application numérique.
Pour {q=5}, on trouverait {\lambda_q\approx 5.996132011}.
En déduire que tant que {n\le1000} la probabilité qu’un {n}-jeu soit {5}-chanceux est supérieure à {1/2}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question III.3.(d)
Écrire une procédure calculant {p_n} quand {q=5}.

À partir de quel {n} a-t-on {p_n\lt \dfrac12}?

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).