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Partie IV. Compléments
On reprend les notations de la partie III.
On sait que {\lambda_q^n\le p_n\le1} pour tout {n\ge1}.
Dans cette partie, on va étudier la suite {(\lambda_q)_{q\ge2}}.
| Question IV.1 Montrer que {(\lambda_q)_{q\ge2}} est strictement croissante. Indication : utiliser le signe {f_{q+1}-f_q} et la monotonie de {f_q} sur {[5,6[}. |
| Question IV.2 Montrer que {\displaystyle\lim_{q\to+\infty}\lambda_q=6} (écrire judicieusement l’égalité {f_q(\lambda_q)=0}). |
Pour tout {n} de {\mathbb{N}^*} et tout {x} de {[0,1[}, on pose :{\varphi_n(x)=n\ln(1-x^n)-\ln(1-x)}
| Question IV.3.(a) Calculer {\psi_n(x)=(1-x)(1-x^n)\varphi'_n(x)}, avec {n} dans {\mathbb{N}^*} et {0\le x\lt 1}. |
| Question IV.3.(b) Montrer que, pour tout {n} de {\mathbb{N}^*} et tout {x} de {\Bigl[0,\dfrac13\Bigr]}, on a {0\le\psi_n(x)\le\psi_{n+1}(x)}. |
| Question IV.3.(c) En déduire l’inégalité {(1-x^n)^n\ge1-x}, pour tout {n} de {\mathbb{N}^*} et tout {x} de {\Bigl[0,\dfrac13\Bigr]}. |
Dans cette question, on va montrer que {\lambda_q} converge très rapidement vers {6} (voir par exemple la valeur numérique indiquée dans la question II.3.c).
Plus précisément, on va prouver que pour {q\ge2} on a :{\mu_q\le\lambda_q\le6\;\text{où}\;\mu_q=6-\dfrac{1}{6^{q-2}}}
| Question IV.4.(a) Calculer {f_q(\mu_q)} et en déduire {\mu_q\le\lambda_q\le6} (on utilisera la question IV.3.c) |
| Question IV.4.(b) Quel encadrement en déduit-on pour {p_n}? |