Lancers de dés chanceux (4/4)

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Partie IV. Compléments

On reprend les notations de la partie III.

On sait que {\lambda_q^n\le p_n\le1} pour tout {n\ge1}.

Dans cette partie, on va étudier la suite {(\lambda_q)_{q\ge2}}.

Question IV.1
Montrer que {(\lambda_q)_{q\ge2}} est strictement croissante.
Indication : utiliser le signe {f_{q+1}-f_q} et la monotonie de {f_q} sur {[5,6[}.
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Question IV.2
Montrer que {\displaystyle\lim_{q\to+\infty}\lambda_q=6}
(écrire judicieusement l’égalité {f_q(\lambda_q)=0}).
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Pour tout {n} de {\mathbb{N}^*} et tout {x} de {[0,1[}, on pose :{\varphi_n(x)=n\ln(1-x^n)-\ln(1-x)}

Question IV.3.(a)
Calculer {\psi_n(x)=(1-x)(1-x^n)\varphi'_n(x)}, avec {n} dans {\mathbb{N}^*} et {0\le x\lt 1}.
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Question IV.3.(b)
Montrer que, pour tout {n} de {\mathbb{N}^*} et tout {x} de {\Bigl[0,\dfrac13\Bigr]}, on a {0\le\psi_n(x)\le\psi_{n+1}(x)}.
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Question IV.3.(c)
En déduire l’inégalité {(1-x^n)^n\ge1-x}, pour tout {n} de {\mathbb{N}^*} et tout {x} de {\Bigl[0,\dfrac13\Bigr]}.
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Dans cette question, on va montrer que {\lambda_q} converge très rapidement vers {6} (voir par exemple la valeur numérique indiquée dans la question II.3.c).

Plus précisément, on va prouver que pour {q\ge2} on a :{\mu_q\le\lambda_q\le6\;\text{où}\;\mu_q=6-\dfrac{1}{6^{q-2}}}

Question IV.4.(a)
Calculer {f_q(\mu_q)} et en déduire {\mu_q\le\lambda_q\le6}
(on utilisera la question IV.3.c)
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Question IV.4.(b)
Quel encadrement en déduit-on pour {p_n}?
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