Lancers de dés chanceux (2/4)

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Partie II. Le cas particulier {q=3}

Dans cette partie, on suppose {q=3}.

Question II.1
Rappelez rapidement les valeurs de {u_1,u_2,u_3} donc celles de {p_1,p_2,p_3}
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On a {u_1=6} et {u_2=36}, donc {p_1=p_2=1}.

On a {u_3=6^3-6=210} donc {p_3=\dfrac{210}{6^3}=\dfrac{35}{36}}.

Question II.2.(a)
Montrer que la suite {(u_n)_{n\ge1}} vérifie la relation :{(E) : \forall\, n\ge3,\; u_{n}=5(u_{n-1}+u_{n-2})}

(on discutera suivant la façon dont se termine un {n}-jeu {3}-chanceux : par deux lancers différents ou par deux lancers identiques?)

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Question II.2.(b)
En déduire que, pour tout {n\ge3} : {p_{n}=\dfrac{5}{36}(6p_{n-1}+p_{n-2})}
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Question II.2.(c)
Montrer alors que la suite {(p_n)_{n\ge1}} converge vers {0}.
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Dans la question II.3, on explicite {u_n}.

Question II.3.(a)
Calculer les deux solutions réelles {r} et {s} de l’équation {x^2=5(x+1)}, avec {r\lt s}.

Montrer que pour tout {n\ge1}, on a :{u_n=\dfrac{2\sqrt5}{25}\bigl(s^{n+1}-r^{n+1}\bigr)}

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Question II.3.(b)
En déduire l’expression de {p_n} pour {n\ge1}.

Retrouver alors la limite de la suite {(p_n)_{n\ge1}}.

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Question II.3.(c)
À partir de quelle valeur de {n} a-t-on {p_n\le\dfrac12}?
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