Partie I | Partie II | Partie III | Partie IV
Partie II. Le cas particulier {q=3}
Dans cette partie, on suppose {q=3}.
| Question II.1 Rappelez rapidement les valeurs de {u_1,u_2,u_3} donc celles de {p_1,p_2,p_3} |
| Question II.2.(a) Montrer que la suite {(u_n)_{n\ge1}} vérifie la relation :{(E) : \forall\, n\ge3,\; u_{n}=5(u_{n-1}+u_{n-2})} (on discutera suivant la façon dont se termine un {n}-jeu {3}-chanceux : par deux lancers différents ou par deux lancers identiques?) |
| Question II.2.(b) En déduire que, pour tout {n\ge3} : {p_{n}=\dfrac{5}{36}(6p_{n-1}+p_{n-2})} |
| Question II.2.(c) Montrer alors que la suite {(p_n)_{n\ge1}} converge vers {0}. |
Dans la question II.3, on explicite {u_n}.
| Question II.3.(a) Calculer les deux solutions réelles {r} et {s} de l’équation {x^2=5(x+1)}, avec {r\lt s}. Montrer que pour tout {n\ge1}, on a :{u_n=\dfrac{2\sqrt5}{25}\bigl(s^{n+1}-r^{n+1}\bigr)} |
| Question II.3.(b) En déduire l’expression de {p_n} pour {n\ge1}. Retrouver alors la limite de la suite {(p_n)_{n\ge1}}. |
| Question II.3.(c) À partir de quelle valeur de {n} a-t-on {p_n\le\dfrac12}? |