Lancers de dés chanceux (1/4)

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On considère un dé cubique honnête dont les faces sont numérotées de {1} à {6}.

Pour {n\ge1}, un {n}-jeu consiste en {n} lancers successifs, en relevant chacun des résultats obtenus. Il est modélisé par un élément {(a_1,a_2,\ldots,a_n)} de {\llbracket 1,6\rrbracket^n}.

Un {n}-jeu est dit {q}-chanceux ({q\ge 2}) si le dé ne renvoie jamais {q} lancers successifs identiques.
Par exemple {(6,5,1,4,4,2,1,1,1,2)} est un {10}-jeu qui est {4}-chanceux mais qui n’est pas {3}-chanceux.

Soit {u_n} le nombre de {n}-jeux qui sont {q}-chanceux, et {p_n} la probabilité pour qu’un {n}-jeu soit {q}-chanceux.

Partie I. Généralités et cas particulier {q=2}

Question I.1.(a)
Combien y a-t-il de {n}-jeux?
Quelle est donc la relation entre {p_n} et {u_n}?
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Le nombre de {n}-jeux est {6^n}, c’est-à-dire autant que d’applications d’un ensemble à {n} éléments (les {n} lancers) vers un ensemble à {6} éléments (les {6} résultats possibles du dé).

On a {p_n=\dfrac{u_n}{6^n}} car les {6^n} jeux sont équiprobables.

Question I.1.(b)
Que valent {u_n} et {p_n} pour {1\le n\lt q}?
Que valent {u_q} et {p_q}?
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Si {n\lt q}, on a {u_n=6^n} donc {p_n=1} (il n’y a pas assez de lancers pour voir {q} résultats successifs identiques : tous les {n}-jeux sont donc {q}-chanceux).

On a {u_q=6^q-6}, car seul {6} des {6^q} {q}-jeux ne sont pas {q}-chanceux (ceux où le lancer a renvoyé 6 fois le même résultat).

On en déduit {p_q=\dfrac{u_q}{6^q}=1-\dfrac{1}{6^{q-1}}}.

Question I.2.(a)
Par un dénombrement, montrer que : {\forall\, n\ge1,\; 5u_n\le u_{n+1}\le6u_n}Quel encadrement en déduit-on pour {p_n} et {p_{n+1}}?
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Question I.2.(b)
En déduire que {(p_n)_{n\ge1}} est décroissante et convergente (on ne demande pas sa limite).

Prouver que {\Bigl(\dfrac56\Bigr)^n\le p_n\le 1} pour tout {n\ge1}.

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Dans les questions I.3.(a) et I.3.(b) seulement, on suppose {q=2}.

Question I.3.(a)
Calculer {u_n}, donc {p_n}, pour tout {n} de {\mathbb{N}^*}.
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Question I.3.(b)
Que vaut {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}p_n}?
À partir de quel {n} a-t-on {p_n\le\dfrac12}?
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