| Exercice 1. Prouver que pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}, on a : {\dfrac{1^{5}+2^{5}+\cdots+n^{5}}{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}} =\dfrac{2n(n+1)-1}{3}} |
| Exercice 2. Pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}, et pour tout {p} de {\mathbb{N}}, on note :{S_{p}(n)=1^{p}+2^{p}+\cdots+n^{p}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{p}}Montrer que pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}, on a :{S_{5}(n)+S_{7}(n)=2\,S_{1}^{4}(n)} |
| Exercice 3. Soit {(a_n)_{n\ge0}} une suite numérique. On pose {b_0=1} et {b_n=\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(1-a_k)} pour {n\ge1}. Montrer {b_{n+1}=1-\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_kb_k} pour tout {n}. |
| Exercice 4. On pose {u_1=1} et : {\forall\, n\ge1,\;u_{n+1}=1+\dfrac{n}{u_n}}. Montrer que : {\forall\, n\ge2,\;\sqrt{n}\lt u_n\lt \sqrt{n}+1}. |
| Exercice 5. Soit {f :\mathbb{N}\to\mathbb{N}} telle que :{\forall\, n\in\mathbb{N},\;f(n+1)\ge f(f(n))+1}
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| Exercice 6. Pour {n\in\mathbb{N}}, calculer {S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\,k^2}. |