Récurrences de bon niveau (1)

Exercice 1.
Prouver que pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}, on a :
{\dfrac{1^{5}+2^{5}+\cdots+n^{5}}{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}} =\dfrac{2n(n+1)-1}{3}}
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On sait que :{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}=\dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}}Il reste donc à montrer l’égalité :{S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{5}=\dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{12}\Bigl(2n(n+1)-1\Bigr)}La propriété est vraie si {n=1}.

Supposons la vraie au rang {n-1}, avec {n\ge2}

Alors :{\begin{array}{rl}S_{n}&=S_{n-1}+n^{5}\\\\&=\dfrac{(n-1)^{2}n^{2}}{12}\Bigl(2(n-1)n-1\Bigr)+n^{5}\\\\&=\dfrac{n^{2}}{12}\Bigl(2(n-1)^{3}n-(n-1)^{2}+12n^{3}\Bigr)\\\\&=\dfrac{n^{2}}{12}(2n^{4}+6n^{3}+5n^{2}-1)\\\\&=\dfrac{n^{2}}{12}(n^{2}+2n+1)(2n^{2}+2n-1)\\\\&=\dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{12}\Bigl(2n(n+1)-1\Bigr)\end{array}}Ce qui prouve la propriété au rang {n} et achève la récurrence.

Exercice 2.
Pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}, et pour tout {p} de {\mathbb{N}}, on note :{S_{p}(n)=1^{p}+2^{p}+\cdots+n^{p}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{p}}Montrer que pour tout {n} de {\mathbb{N}^{*}}, on a :{S_{5}(n)+S_{7}(n)=2\,S_{1}^{4}(n)}
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Exercice 3.
Soit {(a_n)_{n\ge0}} une suite numérique.
On pose {b_0=1} et {b_n=\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(1-a_k)} pour {n\ge1}.
Montrer {b_{n+1}=1-\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_kb_k} pour tout {n}.
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Exercice 4.
On pose {u_1=1} et : {\forall\, n\ge1,\;u_{n+1}=1+\dfrac{n}{u_n}}.
Montrer que : {\forall\, n\ge2,\;\sqrt{n}\lt u_n\lt \sqrt{n}+1}.
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Exercice 5.
Soit {f :\mathbb{N}\to\mathbb{N}} telle que :{\forall\, n\in\mathbb{N},\;f(n+1)\ge f(f(n))+1}

  1. Montrer que {m\ge n\Rightarrow f(m)\ge n}.
    Il en résulte en particulier {f(n)\ge n}.
  2. En déduire que {f} est strictement croissante.
  3. Montrer que {f(n)\lt n+1} pour tout {n}
    Conclusion?
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Exercice 6.
Pour {n\in\mathbb{N}}, calculer {S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\,k^2}.
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