Sous-ensembles normaux

Soient {E} et {F} deux ensembles finis de même cardinal.

Soit {f} une application de {\mathcal{P}(E)} dans {\mathcal{P}(F)}
telle que {f(\emptyset)=\emptyset} et vérifiant la condition suivante : {\forall\,(A,B)\in\mathcal{P}(E)^2,\;f(A\cup B) =f(A) \cup f(B)}

Question 1.
Montrer l’implication : {\forall\,(A,B)\in\mathcal{P}(E)^2,\;A\subset B\Rightarrow f(A)\subset f(B)}
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Soit {A} et {B} deux parties de {E} telles que {A\subset B}.
Cette inclusion s’écrit aussi {A\cup B=B}.
On en déduit {f(B)=f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)}.
Autrement dit, on a l’inclusion {f(A)\subset f(B)}.
Question 2.
En déduire : {\forall\,(A,B)\in\mathcal{P}(E)^2,\;f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)}
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On a {\begin{cases}A\cap B\subset A\\ A\cap B\subset B\end{cases}} donc {\begin{cases}f(A\cap B)\subset f(A)\\ f(A\cap B)\subset f(B)\end{cases}}.

On en déduit l’inclusion {f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)}.

On suppose, dans la suite du problème, que {f} satisfait à la troisième condition : {\forall\, A\in\mathcal{P}(E),\;\text{Card}(f(A))\geq \text{Card}(A)}On dit que {A} est « normal » si {\text{Card}(f(A))=\text{Card}(A)}.

Question 3.
Montrer que {\emptyset} et {E} sont normaux.
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On a toujours {f(\emptyset)=\emptyset}.
Donc ici : {\text{Card}\,f(\emptyset)=\text{Card}\,\emptyset=0}.

Par hypothèse, {\text{Card}\,f(E)\ge\text{Card}\,E}.
Or {f(E)\subset F} et {\text{Card}\,E=\text{Card}\,F}.

Il en découle {f(E)=F}, et donc {\text{Card}\,f(E)=\text{Card}\,F=\text{Card}\,E}.

Conclusion : {\emptyset} et {E} sont normaux.

Question 4.
Montrer que si {A} et {B} sont normaux, {A\cup B} et {A\cap B} sont normaux.
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Question 5.
Montrer que si {A} et {B} sont normaux, {f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)}.
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Parmi tous les sous-ensembles normaux non vides de {E}, soit {A_0} de cardinal minimum.

Question 6.
Soit {A} un sous-ensemble normal de {E}.
Montrer que {A\supset A_0} ou {A\cap A_0=\emptyset}.
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Question 7.
Soient {\alpha\in A_0} et {\beta\inf(\{\alpha\})}.
On pose {E'=E-\{\alpha\}} et {F'=F-\{\beta\}}.
On définit {g} de {\mathcal{P}(E')} dans {\mathcal{P}(F')} par : {\forall\, C\in \mathcal{P}(E'),\;g(C)=f(C)\cap F'}Montrer que {g} vérifie les trois conditions analogues à celles de {f}.
Indication : pour la troisième condition, on pourra considérer une partie {A} de {E'} et discuter suivant que {A} est ou n’est pas normal pour {f}.
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Question 8.
En déduire qu’il existe une bijection {\varphi :E\to F} telle que : {\forall\, x\in E}, {\varphi(x)\in f(\{x\})}.
Indication : procéder par récurrence sur l’entier {n=\text{Card}\,E=\text{Card}\,F}.
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