Somme des cubes et carré de la somme

Question 1.
Rappeler pourquoi :

\;{\forall\,n\ge1,\displaystyle\sum_{k=1}^nk^3=\Bigl(\displaystyle\sum_{k=1}^nk\Bigr)^2}

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Il suffit d’utiliser les résultats bien connus :

{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_{k}=\dfrac{n(n+1)}{2}\;\text{et}\;\displaystyle\sum_{k=1}^n x_{k}^{3}=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}}

Question 2.
Réciproquement, on se donne une suite

{(x_k)_{k\ge1}}

de réels strictement positifs.
On suppose que :

{\forall\,n\ge1,\;\displaystyle\sum_{k=1}^n x_{k}^{3}=\Bigl(\displaystyle\sum_{k=1}^n x_{k}\Bigr)^2}

Montrer que pour tout entier

{k}

on a

{x_k=k}

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Question 3.
Soit

{p}

un entier strictement positif.
Pour tout entier

{n\ge1}

, on pose

{S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n k^p}

.
On suppose que pour

{n\ge1}

{S_n}

est un carré (c’est le cas si

{p=3}

)
Montrer que l’entier

{p}

est nécessairement égal à

{3}

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