Somme des cubes et carré de la somme

Question 1.
Rappeler pourquoi :\;{\forall\,n\ge1,\displaystyle\sum_{k=1}^nk^3=\Bigl(\displaystyle\sum_{k=1}^nk\Bigr)^2}.
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Il suffit d’utiliser les résultats bien connus : {\displaystyle\sum_{k=1}^n x_{k}=\dfrac{n(n+1)}{2}\;\text{et}\;\displaystyle\sum_{k=1}^n x_{k}^{3}=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}}
Question 2.
Réciproquement, on se donne une suite {(x_k)_{k\ge1}}
de réels strictement positifs.
On suppose que : {\forall\,n\ge1,\;\displaystyle\sum_{k=1}^n x_{k}^{3}=\Bigl(\displaystyle\sum_{k=1}^n x_{k}\Bigr)^2}
Montrer que pour tout entier {k} on a {x_k=k}.
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Question 3.
Soit {p} un entier strictement positif.
Pour tout entier {n\ge1}, on pose {S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n k^p}.
On suppose que pour {n\ge1}, {S_n} est un carré (c’est le cas si {p=3})
Montrer que l’entier {p} est nécessairement égal à {3}.
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