Somme des 1/n² et polynômes

Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on définit le polynôme :
{Q_n=\dfrac1{2i}\bigl((X+i)^{n+1}-(X-i)^{n+1}\bigr)}

Question 1.a
Déterminer le degré de {Q_n}, et son coefficient dominant.
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Question 1.b
Montrer que, pour tout {r\in\mathbb{N}} : {Q_{2r}=\displaystyle\sum_{p=0}^r(-1)^p\dbinom{2r+1}{2p+1}X^{2r-2p}}
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Question 2.a
Déterminer les racines de {Q_n}. Montrer que ces racines sont simples et réelles.
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Question 2.b
En déduire la factorisation : {Q_n=(n+1)\displaystyle\prod_{k=1}^n\Bigl(X-\text{cotan}\,\dfrac{k\pi}{n+1}\Bigr)}
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Question 2.c
Prouver que, pour tout {r\in\mathbb{N}} : {\displaystyle Q_{2r}=(2r+1)\prod_{k=1}^r\Bigl(X^2-\text{cotan}\,^2\dfrac{k\pi}{2r+1}\Bigr)}
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Question 2.d
En déduire successivement : {\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{k=1}^r\text{cotan}\,^2\dfrac{k\pi}{2r+1} =\dfrac{r(2r-1)}3\\\\\displaystyle\sum_{k=1}^r\dfrac1{\sin^2\dfrac{k\pi}{2r+1}} =\displaystyle\dfrac{2r(r+1)}3\end{array}}
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Question 3.a
Montrer que : {\forall \;x\in \Big]0,\dfrac\pi2\Big[,\;\text{cotan}\,^2x\lt \dfrac{1}{x^2}\lt \dfrac1{\sin^2x}}
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Question 3.b
En déduire un encadrement de {\displaystyle\sum_{k=1}^r \dfrac1{\Bigl(\dfrac{k\pi}{2r+1}\Bigr)^2}}.

Donner finalement la valeur de {\displaystyle\lim_{r\to\infty}\;\displaystyle\sum_{k=1}^r\dfrac1{k^2}}.

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