Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on définit le polynôme :
{Q_n=\dfrac1{2i}\bigl((X+i)^{n+1}-(X-i)^{n+1}\bigr)}
| Question 1.a Déterminer le degré de {Q_n}, et son coefficient dominant. |
| Question 1.b Montrer que, pour tout {r\in\mathbb{N}} : {Q_{2r}=\displaystyle\sum_{p=0}^r(-1)^p\dbinom{2r+1}{2p+1}X^{2r-2p}} |
| Question 2.a Déterminer les racines de {Q_n}. Montrer que ces racines sont simples et réelles. |
| Question 2.b En déduire la factorisation : {Q_n=(n+1)\displaystyle\prod_{k=1}^n\Bigl(X-\text{cotan}\,\dfrac{k\pi}{n+1}\Bigr)} |
| Question 2.c Prouver que, pour tout {r\in\mathbb{N}} : {\displaystyle Q_{2r}=(2r+1)\prod_{k=1}^r\Bigl(X^2-\text{cotan}\,^2\dfrac{k\pi}{2r+1}\Bigr)} |
| Question 2.d En déduire successivement : {\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{k=1}^r\text{cotan}\,^2\dfrac{k\pi}{2r+1} =\dfrac{r(2r-1)}3\\\\\displaystyle\sum_{k=1}^r\dfrac1{\sin^2\dfrac{k\pi}{2r+1}} =\displaystyle\dfrac{2r(r+1)}3\end{array}} |
| Question 3.a Montrer que : {\forall \;x\in \Big]0,\dfrac\pi2\Big[,\;\text{cotan}\,^2x\lt \dfrac{1}{x^2}\lt \dfrac1{\sin^2x}} |
| Question 3.b En déduire un encadrement de {\displaystyle\sum_{k=1}^r \dfrac1{\Bigl(\dfrac{k\pi}{2r+1}\Bigr)^2}}. Donner finalement la valeur de {\displaystyle\lim_{r\to\infty}\;\displaystyle\sum_{k=1}^r\dfrac1{k^2}}. |