Déplacements dans le plan

Dans le plan rapporté au repère {(O,u,v)}, on considère la « grille » des points {M(x,y)} donc les coordonnées {x,y} sont des entiers naturels.

On se donne un entier naturel {n}. Un pion placé initialement en {(0,0)} suit une trajectoire de {n} mouvements successifs sur la grille.

À chaque étape, trois mouvements sont possibles :

  • D’une position « à l’est » (translation de vecteur {u} de {(x,y)} à {(x+1,y)})
  • D’une position « au nord » (translation de vecteur {v} de {(x,y)} à {(x,y+1)})
  • D’une position « au nord-est » (translation de vecteur {u+v} de {(x,y)} à {(x+1,y+1)})

Question 1.
Quel est le nombre total de trajectoires possibles?
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À chaque déplacement, il y a trois choix possibles.

Il y a donc {3^n} trajectoires différentes.

Question 2.
On note {A_n} des points que peut atteindre le pion à l’issue des {n} déplacements.
Montrer que {A_n} est l’ensemble des {M(x,y)}, avec {0\le x\le n}, {0\le y\le n}, et {x+y\ge n}.
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Question 3.
Soit {M(x,y)} un point de l’ensemble {A_n}.
Montrer que le nombre de trajectoires qui aboutissent à {M(x,y)} est {\dbinom{n}{x}\dbinom{x}{n-y}}.
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Question 4.
Dans cette question, on suppose {n=10}.
On suppose qu’à chaque étape, les trois déplacements possibles sont équiprobables.
Calculer de façon exacte puis approchée la probabilité pour que la position finale {M(x,y)} du pion soit sur la diagonale {y=x}.
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