Dans le plan rapporté au repère {(O,u,v)}, on considère la « grille » des points {M(x,y)} donc les coordonnées {x,y} sont des entiers naturels.
On se donne un entier naturel {n}. Un pion placé initialement en {(0,0)} suit une trajectoire de {n} mouvements successifs sur la grille.
À chaque étape, trois mouvements sont possibles :
- D’une position « à l’est » (translation de vecteur {u} de {(x,y)} à {(x+1,y)})
- D’une position « au nord » (translation de vecteur {v} de {(x,y)} à {(x,y+1)})
- D’une position « au nord-est » (translation de vecteur {u+v} de {(x,y)} à {(x+1,y+1)})
| Question 1. Quel est le nombre total de trajectoires possibles? |
| Question 2. On note {A_n} des points que peut atteindre le pion à l’issue des {n} déplacements. Montrer que {A_n} est l’ensemble des {M(x,y)}, avec {0\le x\le n}, {0\le y\le n}, et {x+y\ge n}. |
| Question 3. Soit {M(x,y)} un point de l’ensemble {A_n}. Montrer que le nombre de trajectoires qui aboutissent à {M(x,y)} est {\dbinom{n}{x}\dbinom{x}{n-y}}. |
| Question 4. Dans cette question, on suppose {n=10}. On suppose qu’à chaque étape, les trois déplacements possibles sont équiprobables. Calculer de façon exacte puis approchée la probabilité pour que la position finale {M(x,y)} du pion soit sur la diagonale {y=x}. |