Raisonnements par l’absurde (1)

Exercice 1.
On se donne trois réels {x,y,z} positifs tels que {xyz>1\;\text{et}\; x+y+z\lt \dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z}Montrer que {x,y,z} sont distincts de {1} et que {\min(x,y,z)\lt 1}.
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  • Supposons par exemple {x=1}.

    Alors {yz>1} donc {y>\dfrac1z} et {z>\dfrac1y}.
    Ainsi {y+z>\dfrac1y+\dfrac1z}.
    Cela contredit laseconde hypothèse sur {(1,y,z)}.

    Ainsi {x\ne1} (et {y\ne1} et {z\ne1} par symétrie.)

  • Supposons {\min(x,y,z)\ge1} (donc {>1}).

    Ainsi {x,y,z} sont {>1}.

    Alors {x>\dfrac1x}, {y>\dfrac1y} et {z>\dfrac1z}.

    Il en résulte : {x+y+z>\dfrac 1x+\dfrac 1y+\dfrac 1z}et c’est contradictoire.

Exercice 2.
Montrer qu’aucun entier {(6m+n)(m+6n)} ({m,n\in\mathbb{N}}) n’est une puissance de {2}.
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Exercice 3.
Soit {A\subset \mathbb{N}^*}, non vide et finie, telle que : {\forall\,(m,n)\in A^2,\dfrac{m+n}{m\wedge n}\in A}Montrer que {A=\{2\}}.
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Exercice 4.
On colore tous les points du plan, arbitrairement, soit en bleu soit en rouge.
Montrer qu’il existe au moins un triangle équilatéral dont les sommets sont de la même couleur.
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Exercice 5.
On suppose qu’il existe une suite {x_1,x_2,\ldots,x_n} de {n} entiers relatifs (avec {n\ge11}) tels que :

  • La somme de sept termes consécutifs est toujours strictement négative.
  • La somme de onze termes consécutifs est toujours strictement positive.

Montrer que {11\le n\le16}, et trouver une solution pour {n=16}.

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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.