Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie sur {\mathbb{K}}.
On note {E^*} l’espace des formes linéaires sur {E}.
Pour {f\in\mathcal{L}(E)} et {\varphi\in E^*}, on note {{}^{t}\!f(\varphi)=\varphi\circ f}.
On dit que {{}^{t}\!f} est la transposée de {f}.
Question 1.
Montrer que la transposition {f\to{}^{t}\!f} est une application de {\mathcal{L}(E)} dans {\mathcal{L}(E^*)}.
Montrer que la transposition {f\to{}^{t}\!f} est une application de {\mathcal{L}(E)} dans {\mathcal{L}(E^*)}.
Question 2.
Montrer que cette application est linéaire.
Montrer que cette application est linéaire.
Question 3.
Montrer que cette application est injective.
Montrer que cette application est injective.
Question 4.
Conclusion?
Conclusion?
Question 5.
Montrer que : {\forall\,f,g\in\mathcal{L}(E),\;{}^{t}(g\circ f)={}^{t}\!f\circ{}^{t}\!g}.
Montrer que : {\forall\,f,g\in\mathcal{L}(E),\;{}^{t}(g\circ f)={}^{t}\!f\circ{}^{t}\!g}.
Question 6.
Identifier l’application {{}^{t}\text{Id}_E}.
Identifier l’application {{}^{t}\text{Id}_E}.
Question 7.
Soit {f} un automorphisme de {E}. Montrer que {{}^{t}\!f} est un automorphisme de {E^*} et que {\bigl({}^{t}\!f\bigr)^{-1}={}^{t}\!\bigl(f^{-1}\bigr)}.
Soit {f} un automorphisme de {E}. Montrer que {{}^{t}\!f} est un automorphisme de {E^*} et que {\bigl({}^{t}\!f\bigr)^{-1}={}^{t}\!\bigl(f^{-1}\bigr)}.
Question 8.
Réciproquement soit {f} un endomorphisme de {E}.
On suppose que {{}^{t}\!f} est un automorphisme de {E^*=\mathcal{L}(E,\mathbb{R})}.
Montrer de deux manières que {f} est un automorphisme de {E}.
Réciproquement soit {f} un endomorphisme de {E}.
On suppose que {{}^{t}\!f} est un automorphisme de {E^*=\mathcal{L}(E,\mathbb{R})}.
Montrer de deux manières que {f} est un automorphisme de {E}.
Question 9.
Soit {f\in\mathcal{L}(E)}. Montrer que {\text{rg}\, f=\text{rg}\, {}^{t}\!f}.
Soit {f\in\mathcal{L}(E)}. Montrer que {\text{rg}\, f=\text{rg}\, {}^{t}\!f}.
Question 10.
Soit {(e)=e_1,e_2,\ldots,e_n} une base de {E}.
Soit {(e^*)} la base duale (c’est-à-dire la base de {E^{*}} des formes linéaires coordonnées).
Soit {f\in\mathcal{L}(E)}, de matrice {A} dans {(e)}.
Montrer que la matrice de {{}^{t}\!f} dans {(e^*)} est {{}^{t}\!A}.
Soit {(e)=e_1,e_2,\ldots,e_n} une base de {E}.
Soit {(e^*)} la base duale (c’est-à-dire la base de {E^{*}} des formes linéaires coordonnées).
Soit {f\in\mathcal{L}(E)}, de matrice {A} dans {(e)}.
Montrer que la matrice de {{}^{t}\!f} dans {(e^*)} est {{}^{t}\!A}.