Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie sur {\mathbb{K}}.
On note {E^*} l’espace des formes linéaires sur {E}.
Pour {f\in\mathcal{L}(E)} et {\varphi\in E^*}, on note {{}^{t}\!f(\varphi)=\varphi\circ f}.
On dit que {{}^{t}\!f} est la transposée de {f}.
| Question 1. Montrer que la transposition {f\to{}^{t}\!f} est une application de {\mathcal{L}(E)} dans {\mathcal{L}(E^*)}. |
| Question 2. Montrer que cette application est linéaire. |
| Question 3. Montrer que cette application est injective. |
| Question 4. Conclusion? |
| Question 5. Montrer que : {\forall\,f,g\in\mathcal{L}(E),\;{}^{t}(g\circ f)={}^{t}\!f\circ{}^{t}\!g}. |
| Question 6. Identifier l’application {{}^{t}\text{Id}_E}. |
| Question 7. Soit {f} un automorphisme de {E}. Montrer que {{}^{t}\!f} est un automorphisme de {E^*} et que {\bigl({}^{t}\!f\bigr)^{-1}={}^{t}\!\bigl(f^{-1}\bigr)}. |
| Question 8. Réciproquement soit {f} un endomorphisme de {E}. On suppose que {{}^{t}\!f} est un automorphisme de {E^*=\mathcal{L}(E,\mathbb{R})}. Montrer de deux manières que {f} est un automorphisme de {E}. |
| Question 9. Soit {f\in\mathcal{L}(E)}. Montrer que {\text{rg}\, f=\text{rg}\, {}^{t}\!f}. |
| Question 10. Soit {(e)=e_1,e_2,\ldots,e_n} une base de {E}. Soit {(e^*)} la base duale (c’est-à-dire la base de {E^{*}} des formes linéaires coordonnées). Soit {f\in\mathcal{L}(E)}, de matrice {A} dans {(e)}. Montrer que la matrice de {{}^{t}\!f} dans {(e^*)} est {{}^{t}\!A}. |