Transposition d’un endomorphisme

Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie sur {\mathbb{K}}.

On note {E^*} l’espace des formes linéaires sur {E}.

Pour {f\in\mathcal{L}(E)} et {\varphi\in E^*}, on note {{}^{t}\!f(\varphi)=\varphi\circ f}.

On dit que {{}^{t}\!f} est la transposée de {f}.

Question 1.
Montrer que la transposition {f\to{}^{t}\!f} est une application de {\mathcal{L}(E)} dans {\mathcal{L}(E^*)}.
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Question 2.
Montrer que cette application est linéaire.
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Question 3.
Montrer que cette application est injective.
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Question 4.
Conclusion?
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Question 5.
Montrer que : {\forall\,f,g\in\mathcal{L}(E),\;{}^{t}(g\circ f)={}^{t}\!f\circ{}^{t}\!g}.
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Question 6.
Identifier l’application {{}^{t}\text{Id}_E}.
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Question 7.
Soit {f} un automorphisme de {E}. Montrer que {{}^{t}\!f} est un automorphisme de {E^*} et que {\bigl({}^{t}\!f\bigr)^{-1}={}^{t}\!\bigl(f^{-1}\bigr)}.
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Question 8.
Réciproquement soit {f} un endomorphisme de {E}.
On suppose que {{}^{t}\!f} est un automorphisme de {E^*=\mathcal{L}(E,\mathbb{R})}.
Montrer de deux manières que {f} est un automorphisme de {E}.
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Question 9.
Soit {f\in\mathcal{L}(E)}. Montrer que {\text{rg}\, f=\text{rg}\, {}^{t}\!f}.
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Question 10.
Soit {(e)=e_1,e_2,\ldots,e_n} une base de {E}.
Soit {(e^*)} la base duale (c’est-à-dire la base de {E^{*}} des formes linéaires coordonnées).
Soit {f\in\mathcal{L}(E)}, de matrice {A} dans {(e)}.
Montrer que la matrice de {{}^{t}\!f} dans {(e^*)} est {{}^{t}\!A}.
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