Florilège d'exercices (2)

Exercice 1.
Soit

{E}

un ensemble fini. Pour toutes parties

{X}

{Y}

{E}

, on note

{d(X,Y)=\text{card}(X\Delta Y)}

Montrer qu’on a toujours ${d(X,Y)\le \text{card}(X)+\text{card}(Y)}$ et dire quand il y a égalité.
Pour toutes parties ${A,B,C}$ de ${E}$ , montrer que ${d(A,B)\le d(A,C)+d(C,B)}$
Montrer que l’inégalité précédente est une égalité si et seulement si ${A\cap B\subset C\subset A\cup B}$ .

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Exercice 2.
Pour tout

{n}

{\mathbb{N}^{*}}

, donner une expression simple de la somme

{S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\dbinom{2n}{2k}}

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Exercice 3.

Soient ${m,n}$ deux entiers naturels. Montrer que ${m^{2}+n^{2}}$ est divisible par ${7}$ si et seulement si ${m,n}$ sont tous deux divisibles par ${7}$ .
En déduire que le seul triplet ${(x,y,z)}$ de ${\mathbb{N}^{3}}$ tel que ${x^{2}+y^{2}=7z^{2}}$ est ${(0,0,0)}$ .

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Exercice 4.

Soient ${m,n}$ deux entiers naturels.
Montrer que ${m^{2}+n^{2}}$ est divisible par ${3}$ si et seulement si ${m,n}$ sont tous deux divisibles par ${3}$ .
En déduire que le seul quadruplet ${(x,y,z,t)}$ de ${\mathbb{N}^{4}}$ tel que ${x^{2}\!+\!y^{2}=3(z^{2}\!+\!t^{2})}$ est ${(0,0,0,0)}$ .

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Exercice 5.
Soit

{E}

un ensemble fini non vide.
Soit

{a}

un élément fixé de

{E}

Montrer que l’application ${\varphi}$ qui à ${X}$ associe ${X\,\Delta\,\{a\}}$ est une bijection de ${\mathcal{P}(E)}$ sur lui-même.
En déduire que dans ${\mathcal{P}(E)}$ , il y a autant de parties paires que de parties impaires.

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