Inscrire des carrés dans un damier

La figure ci-dessous montre un damier {8\times 8} dans lequel on a inscrit un rectangle puis trois carrés (un quadrilatère est dit inscrit si ses sommets sont des points de la grille).
carres1
On va voir combien de rectangles ou de carrés on peut inscrire dans un damier {n\times n}.

On se limite à de « vrais » carrés ou rectangles inscrits, c’est-à-dire d’aire non nulle.

On admet les résultats suivants, pour tout {n\ge1} : {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6},\;\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}}

Question 1.
Dans un damier {n\times n}, combien peut-on inscrire de rectangles de cotés parallèles à ceux du damier (comme sur le premier exemple ci-dessus) ?
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Un rectangle (avec cotés parallèles aux bords du damier) est défini de manière unique par la donnée de deux abscisses distinctes parmi {n+1} et de deux ordonnées distinctes parmi {n+1}.

Il y a donc {\displaystyle\binom{n+1}{2}^2=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}} possibilités.

Question 2.
On note {C_n} le nombre de carrés inscriptibles dans un damier {n\times n} et de cotés parallèles à ceux du damier (comme sur le 2ième exemple ci-dessus).

On note {C_{n,k}} ceux de ces carrés dont l’arête est de longueur {k}, avec {1\le k\le n}.

Donner {C_{n,k}=(n+1-k)^2} et en déduire {C_{n}}.

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Question 3.
Dans un damier {n\times n}, combien y a-t-il de carrés inscriptibles dont les quatre sommets touchent les bords du damier (comme dans le quatrième exemple ci-dessus)?
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Question 4.
On note {C'_n} le nombre de carrés inscriptibles dans un damier {n\times n}. Montrer que :{C'_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\,C_{n,k}=\dfrac{n(n+1)^2(n+2)}{12}}Indication : remarquer que chacun des carrés dénombrés ici est inscrit dans un unique carré (lui-même inscrit dans le damier {n\times n}) de cotés parallèles aux bords du damier.
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