Récurrences de bon niveau (2)

Exercice 1.
Pour {n\in\mathbb{N}}, calculer {S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{k}{(k+1)!}}.
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On peut le faire par récurrence, mais il y a mieux!

Par télescopage : {\begin{array}{rl}S_n&=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(k+1)-1}{(k+1)!}\\\\&= \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{1}{k!}=1-\dfrac{1}{(n+1)!}\end{array}}

Exercice 2.
Pour toute partie {A} finie non vide de {\mathbb{N}^{*}}, on note {p(A)} l’inverse du produit des éléments de {A}.
Calculer {u_n=\displaystyle\sum p(A)}, où la somme est étendue aux parties non vides de {E_{n}=\{1,2,\ldots,n\}}
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Exercice 3.
Soit {n} un entier supérieur ou égal à {2}.
Soit {n\!+\!2} entiers distincts de {E_n=\{1,\ldots,2n\}}.
Montrer que l’un d’eux est la somme de deux autres.
Est-ce encore vrai si on en prend seulement {n\!+\!1}?
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Exercice 4.
On pose {\begin{cases}A_{0}=\{1\}\\ B_{0}=\{0\}\end{cases}} et, pour tout {n\in\mathbb{N}^*} :{\begin{cases}A_{n}=A_{n-1}\cup\{b+2^n,\;b\in B_{n-1}\}\\B_{n}=B_{n-1}\cup\{a+2^n,\;a\in A_{n-1}\}\end{cases}}

  1. Écrire en Python deux fonctions {A} et {B} permettant de former les ensembles {A_{n}} et {B_{n}}.

    Former par exemple {A_4} et {B_4}.

    Toujours en Python, et avec {n=4}, vérifier que :{\displaystyle\sum_{a\in A_{4}}a^k=\displaystyle\sum_{b\in B_{4}}b^k\;\text{pour}\;0\le k\le 4}

  2. Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, établir que {A_{n}} et {B_{n}} forment une partition de {\{0,1,\ldots,2^{n+1}-1\}} en deux parties de cardinal {2^{n}}, et qu’on a les égalités :
    {\displaystyle\sum_{a\in A_{n}}a^k=\displaystyle\sum_{b\in B_{n}}b^k\;\text{pour}\;0\le k\le n}

  3. Pour {n\in\mathbb{N}}, calculer : {d_{n}=\displaystyle\sum_{a\in A_{n}}a^{n+1}-\displaystyle\sum_{b\in B_{n}}b^{n+1}}

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Exercice 5.
On se donne {n} réels {x_1,x_2,\ldots,x_n} dans {[0,1]}.
On pose {s(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\displaystyle\sum\limits_{1\le i\lt j\le n}|x_j-x_i|}.
Cette quantité est donc la somme des distances entre les différents {x_i}.

  1. Montrer qu’on peut choisir les {x_i} pour que :

    • Si {n} est pair {(n=2m)} alors {s(x_1,x_2,\ldots,x_n)=m^2}
    • Si {n} est impair {(n=2m+1)} alors {s(x_1,x_2,\ldots,x_n)=m^2+m}
  2. Montrer que les valeurs ainsi obtenues sont en fait des maximums.

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Exercice 6.
Pour tout {x} de {\mathbb{R}} on pose {x^{(0)}=1} et : {x^{(n)}=x(x-1)\cdots(x-n+1)=\prod\limits_{k=0}^{n-1}(x-k)}Montrer l’égalité :{(x+y)^{(n)}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\displaystyle\binom{n}{k}x^{(k)}y^{(n-k)}}pour tous réels {x,y} et tout {n} de {\mathbb{N}}.
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