Florilège d'exercices (1)

Exercice 1.
On considère deux suites

{(a_n)_{n\ge0}}

{(b_n)_{n\ge0}}

,
On suppose que :

{\forall\,n\in\mathbb{N},\;\begin{cases}a_{n+1}=\dfrac{2a_n+b_n}{4}\\ b_{n+1}=\dfrac{a_n+2b_n}{4}\end{cases}}

Étudier la limite de ces deux suites.

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Exercice 2.

On pose {v_1=3} et : {\forall n,\in\mathbb{N}^*,\;v_{n+1}=\dfrac{v_n}{n}+1}.
- Soit ${n}$ un entier, ${n\ge1}$ .
  Montrer que : ${v_{n+1}\lt v_{n}\Rightarrow v_{n+2}\lt v_{n+1}}$ .
- En déduire la limite de ${(v_{n})_{n\ge1}}$ .
On pose ${u_1=a}$ (avec ${a}$ dans ${\mathbb{C}}$ ).
On suppose : ${\forall n,\in\mathbb{N}^*,\;u_{n+1}=\dfrac{u_n}{n}+1}$ .
Étudier la limite de ${(u_{n})_{n\ge1}}$ .

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Exercice 3.Pour tout

{n\ge4}

on considère les entiers

{A_n=3n^2-n+1\;\text{et}\; B_n=2n-1}

Déterminer le reste dans la division de

{A_n}

par

{B_n}

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Exercice 4.

{ABCD}

est un rectangle, où

{AB=10}

{BC=6}

.
Soit

{H}

le milieu du segment

{[DC]}

.
Soit

{M}

sur la médiatrice de

{[DC]}

.
On note

{\,\theta}

l’angle

{(\widehat{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BM}})}

.
Exprimer

{g(\,\theta)=MA+MB+MH}

.
Préciser pour quelle valeur de

{\,\theta}

cette somme est minimum et calculer la valeur de ce minimum.

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Exercice 5.
Pour tout

{n\in\mathbb{N}}

, donner une expression simple de :

{S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\dbinom{n}{k}}

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