| Exercice 1. Soit {f :\mathbb{N}\to\mathbb{N}}, strictement croissante telle que {(1) : \forall\, (m,n)\in\mathbb{N}^2,\;f(mf(n))=n^2f(mn)}Pour tous entiers {m} et {n}, montrer :{\begin{cases}(2) :\ f(f(n))=n^2f(n)\\[6pt](3) :\ f(mn)=f(m)f(n)\end{cases}}En déduire {f(n)=n^2} pour tout {n}. |
| Exercice 2. Montrer que la seule solution du système {(S) :\begin{cases}y=2-x^3\cr x=2-y^3\end{cases}} est le couple {(1,1)}. |
| Exercice 3. Soit {z\in\mathbb{C}} une racine du polynôme {P=11X^{10}+10iX^9+10iX-11}Montrer que {|z|=1}. |
| Exercice 4. Pour quels {n\in\mathbb{N}^*} le polynôme {P(x)=x^n+(2+x)^n+(2-x)^n} a-t-il une racine dans {\mathbb{Q}}? |
| Exercice 5. Montrer qu’il n’existe pas trois entiers naturels {a,b,c} tel que {P(n)=n^3+an^2+bn+c} soit un carré parfait pour tout {n} (indication : considérer la différence {P(n+2)-P(n)} modulo {4}.) |