Minimiser une forme quadratique sur ℤxℤ

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {r,s,t} des réels tels que : {rt-s^{2}=3/4}.

Soit {q} la fonction définie sur {\mathbb{R}^{2}} par :{q(x,y)=rx^{2}+2sxy+ty^{2}}On veut prouver {(\mathcal{P}):\exists\,(x,y)\in\mathbb{Z}^{2},\;\left|q(x,y)\right|\le1}.

Quitte à changer {q} en {-q}, on va supposer {r>0}.

Question 1
Montrer que : {\forall\, (x,y)\in\mathbb{R}^{2},\;q(x,y)=\|xu+yv\|^{2}}{u=\sqrt{r}(1,0)} et {v=\dfrac{1}{\sqrt{r}}\Big(s,\dfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)}.
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On note {\mathcal{R}=\{xu+yv,\,(x,y)\in\mathbb{Z}^{2}\}}.

Prouver {(\mathcal{P})}, c’est donc montrer :{\exists\,w\in\mathcal{R},\;\|w\|\le 1}.

Soit {\begin{cases}e_{0}=u\\\varepsilon_{0}=v\end{cases}} et l’algorithme suivant :

  • (i) Connaissant {e_{k},\varepsilon_{k}}, former :{e_{k+1}=\varepsilon_{k}+m\,e_{k}\;\text{où}\;m\in\mathbb{Z}}tel que {\left|\left(e_{k}\mid e_{k+1}\right)\right|\le \dfrac12\|e_{k}\|^{2}}; poser {\varepsilon_{k+1}=e_{k}}.
  • (ii) Si {\|e_{k+1}\|\lt \|\varepsilon_{k+1}\|} revenir à l’étape (i) avec le couple {(e_{k+1},\varepsilon_{k+1})}, sinon stopper l’algorithme.

Question 2.a
Justifier la possibilité de former {e_{k+1}} dans l’étape (i); observer que les {e_{k},\varepsilon_{k}} sont dans {\mathcal{R}}.
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Question 2.b
Montrer que {\left|\det(e_{k},\varepsilon_{k})\right|} vaut toujours {\sqrt3/2}.
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Question 2.c
Montrer qu’on obtient, en un nombre fini d’étapes, deux vecteurs {e_{k+1},\varepsilon_{k+1}} de {\mathcal{R}} tels que : {\|\varepsilon_{k+1}\|\le\|e_{k+1}\|\;\text{et}\;\left|\left(\varepsilon_{k+1}\mid e_{k+1}\right)\right|\le \dfrac12\|\varepsilon_{k+1}\|^{2}}
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Question 2.d
Montrer finalement que {\|\varepsilon_{k+1}\|\le1} et conclure.
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