Développement d’intégrale à paramètre
(Oral Centrale) On étudie {F(t)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{f(x)}{1+tf(x)}\text{d}x}, où {f} est continue positive intégrable sur {\mathbb{R}^+}.
Concours Centrale
Théorème de Rouché pour les polynômes
(Oral Centrale) On montre que si {P} et {Q} sont deux polynômes tels que {|z|=r \Rightarrow |P(z)−Q(z)|\lt|Q(z)|}, alors ils ont le même nombre de racines dans {D(0,r)}.
Suite d’intégrales trigonométriques
(Orale Centrale) On calcule les intégrales {J_n(y)=\displaystyle\int_0^\pi\dfrac{\cos nx-\cos ny}{\cos x-\cos y}\text{d}x}
Majoration optimale d’une intégrale
(Oral Centrale) On majore la valeur absolue de l’intégrale de {f} sur {[0,1}, où {f} décrit l’espace des fonctions de classe {\mathcal{C}^2} sur {[0,1]} et telles que {f(0)=f(1)=f'(1)=0}.
Intégrale de exp(-x^4)cos(xt)
(Oral Centrale) On étudie l’intégrale à paramètre {f(t)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\!\!\text{e}^{-x^4}\cos(xt)\,\text{d}x}
Intégrale de arctan(x tan(t))
(Oral Centrale) On étudie l’intégrale à paramètre {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\!\!\!\arctan(x \tan(t))\text{d}t}.
Un problème d’extrema liés
(Oral Centrale) On s’intéresse au maximum d’une fonction {f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}} polynomiale homogène en les coordonnées {x_i}, sur un certain polygone de {\mathbb{R}^n}.
Équation différentielle du 2nd ordre
(Oral Centrale) Soit {q :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{-*}} continue strictement négative. On s’intéresse aux solutions sur {\mathbb{R}^{+}} de l’équation différentielle {\left( \mathcal{E}_{q}\right) :y''+q(x)y=0}.
Développement asymptotique et EQD
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on montre que toute solution de l’équation différentielle {y'=1/(1+x^2+y^2)} a un développement asymptotique à tout ordre en {1/x} en {+\infty}
Équation fonctionnelle et série entière
(Oral Centrale) On considère l’unique fonction {\mathcal{C}^\infty} vérifiant {y^3(x)+y(x)+x=0}. On vérifie que {y(x)} satisfait à une équation différentielle linéaire d’ordre 2, et on en déduit que {y(x)} est développable en série entière.
Séries entières et sommes harmoniques
(Oral centrale) On étudie une méthode de calcul de la somme de la série entière {\sum P(n)H_nx^n}, où {P} est un polynôme et où {H_n} est le {n}-ième nombre harmonique.
Sommes harmoniques et nombre d’Apery
(Oral Centrale) On définit un certain nombre de séries numériques dans lesquelles apparaissent les sommes harmoniques {H_n}. Par des manipulations algébriques, on exprime {\zeta(3)} (la constante d’Apery) comme la somme d’une telle série.
Séries entières à coefficients 0 ou 1
Oral Centrale) On s’intéresse aux séries entières dont les coefficients valent 0 ou 1 et à l’ensemble des complexes z qui annulent une telle série entière.
Série entière et matrice circulante
(Oral Centrale) On définit une famille de séries entières, base de l’espace des solutions de {y^{(n)}=y}. On calcule un déterminant circulant associé.
Série de fonctions et intégrales
(Oral Centrale) On définit une suite de polynômes (de Hilbert), et la suite {a_n} de leurs intégrales sur {[0,1]}. Par des techniques d’intégration et de séries, on calcule un équivalent de {a_n}.
Série entière et suite de Fibonacci
(Oral Centrale) On définit la suite de Fibonacci et une suite de polynômes associés. On étudie ensuite une série entière reliée à cette suite de polynômes.
Une somme (bis) de série entière
(Oral Centrale) On définit une série entière. Après en avoir déterminé le rayon de convergence, on en calcule la somme par une méthode d’équation différentielle.
Somme d’une série entière
(Oral Centrale) On calcule ici la somme d’une série entière, par des techniques de calcul intégral et d’interversion somme/intégrale. Très classique.
Série entière à coefficients factoriels
(Oral Centrale) On étudie une série entière de somme {f}. Après résolution d’une équation différentielle linéaire, on calcule {f} aux bornes de l’intervalle de convergence.
Série génératrice d’une récurrence linéaire
(Oral Centrale) On étudie la série entière génératrice d’une récurrence linéaire d’ordre 3. Par plusieurs points de vue, on résout cette récurrence.