Théorème de Rouché pour les polynômes

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {r\in\mathbb{R}^{+*}}, et {f} une fraction rationnelle complexe n’ayant ni zéro ni pôle de module {r}.

Pour {r\gt0}, on pose {N_r(f)=\!\displaystyle\dfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\! \dfrac{f'(re^{i t})}{f(r e^{it})} r e^{i t}\text{d}t}

Question 1.a
Soient {f,g} deux fractions rationnelles complexes.
Montrer, sous réserve d’existence, que :{N_r(fg)=N_r(f)+N_r(g)}
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Question 1.b
Soit {a} un complexe.
Calculer {F(a)=\displaystyle{\dfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int_0^{2\pi}\dfrac {e^{it}\,\text{d}t}{e^{it}-a}}}
(d’abord quand {|a|\lt 1} puis quand {|a|>1}).
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Question 1.c
En déduire que {N_r(f)} est le nombre de zéros de {f} diminué du nombre de pôles de {f} (tous comptés avec leur multiplicité) et appartenant au disque ouvert {D(0,r)} (indication : on pourra commencer par le cas où {f} est un polynôme de degré {1}).
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Question 2
On suppose que : {\forall\, z\in\mathbb{C},\;\left|z\right|=r\Rightarrow |f(z)| \lt 1}.
Montrer que {\displaystyle\dfrac{1}{2\pi} \displaystyle\int_0^{2\pi} \dfrac{f'(re^{i t})}{1+f(r e^{it})} re^{i t} dt=0}
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Question 3
Soit {r>0} et {P,Q} dans {\mathbb{C}[X]} tels que : {\forall\, z\in\mathbb{C},\; \left|z\right|=r\Rightarrow\left|P(z)-Q(z)\right|\lt \left|Q(z)\right|}.
Montrer que {P} et {Q} ont autant de racines (comptées avec multiplicité) dans {D(0,r)}
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Question 4
Appliquer ce qui précède à {P=z^7\!-\!5z^5\!+\!z^4\!-\!2}.
(on pourra utiliser {Q(z)=-5z^5}).
On montrera que :

  • {P} a {5} racines de module inférieur à {1}
  • {P} n’a aucun racine de module entre {1} et {2}
  • {P} admet deux racines de module entre {2} et {3}

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