QCM (suites et séries de fonctions)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 18 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Suites et séries de fonctions ».
Séries de fonctions
Théorème de Rouché pour les polynômes
(Oral Centrale) On montre que si {P} et {Q} sont deux polynômes tels que {|z|=r \Rightarrow |P(z)−Q(z)|\lt|Q(z)|}, alors ils ont le même nombre de racines dans {D(0,r)}.
Série de fonctions et intégrales
(Oral Centrale) On définit une suite de polynômes (de Hilbert), et la suite {a_n} de leurs intégrales sur {[0,1]}. Par des techniques d’intégration et de séries, on calcule un équivalent de {a_n}.
Série de fonctions et Fibonacci
(Oral Centrale) On étudie la somme de la série de fonctions {\sum x^n/(1-x^n)}. On termine par une expression de la série des {1/F_{2n}}, où {F} est la suite de Fibonacci.
Une série de fonctions
Oral Centrale) On définit la fonction {\varphi(u)=u(1-u^2)/(1+u^2)}, et on étudie la série de fonctions {\sum\varphi(x^n)} (domaine, continuité, équivalent).
Série de fonctions ou série entière ?
(Oral Mines-Ponts)
Domaine et régularité de {f:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2}+x^{2}}}
Montrer que {f} est développable en série entière.
Quel est le rayon de convergence?
Domaine et régularité de {f:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2}+x^{2}}}
Montrer que {f} est développable en série entière.
Quel est le rayon de convergence?
Exemples de séries de fonctions
Exercices sur le thème « séries de fonctions ».
Interversion intégrale/série
(Oral Centrale 2018)
Soit {\displaystyle\sum a_{n}} une série convergente.
Soit {S=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_k}, et {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a_{n}}{n!}x^{n}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(u)e^{-u}du=S}
Soit {\displaystyle\sum a_{n}} une série convergente.
Soit {S=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_k}, et {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a_{n}}{n!}x^{n}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(u)e^{-u}du=S}
Une équation fonctionnelle
(Oral Centrale 2018)
Soit l’équation {(E)}: {f\Big(\dfrac{x}{2}\Big)+f\Big(\dfrac{x+1}{2}\Big)=f(x)} d’inconnue {f:[0,\;1]\rightarrow \mathbb{R}}.
Déterminer les solutions {\mathcal{C}^{2}} de {(E)}
Montrer que {S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\sin (2^{n}\pi x)}{2^{n}}} vérifie {(E)}
Montrer que {S} n’est pas {\mathcal{C}^{2}}
Soit l’équation {(E)}: {f\Big(\dfrac{x}{2}\Big)+f\Big(\dfrac{x+1}{2}\Big)=f(x)} d’inconnue {f:[0,\;1]\rightarrow \mathbb{R}}.
Déterminer les solutions {\mathcal{C}^{2}} de {(E)}
Montrer que {S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\sin (2^{n}\pi x)}{2^{n}}} vérifie {(E)}
Montrer que {S} n’est pas {\mathcal{C}^{2}}
Convergence d’une série de fonctions
(Oral Centrale 2018)
Soit {(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+})^{\mathbb{N}}} décroissante.
On pose {u_{n}(x)=a_{n}x^{n}(1-x)}.
Montrer que {\displaystyle\sum u_{n}} converge simplement sur {[0,1]}.
Donner une CNS de convergence normale (resp. uniforme) de cette série sur {[0,1]}.
Soit {(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+})^{\mathbb{N}}} décroissante.
On pose {u_{n}(x)=a_{n}x^{n}(1-x)}.
Montrer que {\displaystyle\sum u_{n}} converge simplement sur {[0,1]}.
Donner une CNS de convergence normale (resp. uniforme) de cette série sur {[0,1]}.
Série de fonctions et série entière
(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}} est développable en série entière sur {]-1,1[}
Montrer que {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}} est développable en série entière sur {]-1,1[}
Intégrale et constante d’Euler
(Oral Mines-Ponts 2018)
On montre que {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\biggl(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\ln (1-t)}\biggr) \,\text{d}t=\gamma} (constante d’Euler)
On montre que {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\biggl(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\ln (1-t)}\biggr) \,\text{d}t=\gamma} (constante d’Euler)
Étude d’une série de fonctions
(Oral Mines-Ponts 2018)
On note {u_{n}(x)=(-1)^{n}\ln \left(1+\dfrac{x^{2}-1}{n(x^{2}+2)}\right)}.
Domaine, continuité et limites aux bornes de {\displaystyle\sum\limits_{n\ge1}u_{n}}
On note {u_{n}(x)=(-1)^{n}\ln \left(1+\dfrac{x^{2}-1}{n(x^{2}+2)}\right)}.
Domaine, continuité et limites aux bornes de {\displaystyle\sum\limits_{n\ge1}u_{n}}
Étude de série de fonctions
(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer le domaine de {f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac{x^{n}}{1-x^{n}}}.
Étudier la continuité et le caractère {\mathcal{C}^{1}} de {f}.
Déterminer le domaine de {f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac{x^{n}}{1-x^{n}}}.
Étudier la continuité et le caractère {\mathcal{C}^{1}} de {f}.
Étude d’une série de fonctions
(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine, continuité, dérivabilité de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{n(1+nx^{2})}}.
Donner un équivalent de {f} en {0}.
Domaine, continuité, dérivabilité de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{n(1+nx^{2})}}.
Donner un équivalent de {f} en {0}.
Développement d’Euler de cotan(π x)
((Oral Centrale Mp)
Développement d’Euler de cotan(π x) en série de fonctions.
Développement d’Euler de cotan(π x) en série de fonctions.
Racines du polynôme dérivé (bis)
(Oral Centrale Mp)
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k^2)}
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k^2)}
Étude d’une série de fonctions
(Oral Mines-Ponts)
Étude de la fonction {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n\in \mathbb{N}}\ln (1+e^{-nx})}. Équivalent de f en 0.
Étude de la fonction {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n\in \mathbb{N}}\ln (1+e^{-nx})}. Équivalent de f en 0.
Régularité d’une série de fonctions
On étudie la régularité de {\displaystyle\sum\limits f_n}, où : {\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\forall\, x\in \mathbb{R}^+,f_n\left(x\right)=\dfrac{\text{e}^{-nx}}{(n+x)^2}}
Séries de fonctions trigonométriques
On étudie la série de fonctions {\displaystyle\sum_{n\ge0} f_n}, où : {\forall\, x\in[0,\pi],\;f_n(x)=\sin x\,\cos^nx}
Série de fonctions, convergence, somme
Série de fonctions {\sum f_n} définie par : {\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\forall\, x\in \mathbb{R}^+,f_n\left(x\right)=n\, x^2\text{e}^{-nx}}
La série de fonctions ∑(-1)n/√(n+x)
Domaine et variations de {S\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+x}}}.
Une série de fonctions alternée
(Oral Ccp)
Convergence (simple, uniforme) et limite en 0^+ de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{x}\ln\left (1+\dfrac{x}{n}\right )}.
Convergence (simple, uniforme) et limite en 0^+ de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{x}\ln\left (1+\dfrac{x}{n}\right )}.
Variations d’une série de fonctions
(Oral CCinp et Mines-Ponts)
On pose {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(nx+1)}}.
Dérivabilité de {f}, et équivalent en {0} et en +\infty.
On pose {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(nx+1)}}.
Dérivabilité de {f}, et équivalent en {0} et en +\infty.
Continuité d’une série de fonctions
Dérivabilité d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Convergence et caractère {{\mathcal C}^1} de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{1+(nt)^2}}.
Convergence et caractère {{\mathcal C}^1} de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{1+(nt)^2}}.
Suite puis série de fonctions
Étudier la suite puis la série des {h_{n}(x)=x^{2n+1}\ln(x)}.
Série de fonctions, étude aux bornes
(Oral Ccp)
Pour {|a|\lt1} et x\gt0, étudier {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a^{n}}{n+x}}, notamment en 0^+ et +\infty.
Pour {|a|\lt1} et x\gt0, étudier {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a^{n}}{n+x}}, notamment en 0^+ et +\infty.
Limite d’une intégrale à paramètre
(Ooral Mines-Ponts)
Pour {x>0}, on pose {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\ln (t)\ln (1-t^{x})\,\text{d}t}.
Montrer que {f} est bien définie et l’écrire comme somme d’une série de fonctions.
Déterminer la limite de {f} en {0}.
Pour {x>0}, on pose {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\ln (t)\ln (1-t^{x})\,\text{d}t}.
Montrer que {f} est bien définie et l’écrire comme somme d’une série de fonctions.
Déterminer la limite de {f} en {0}.
Une série de fonctions
(Oral Ccp et Mines-Ponts)
On étudie la série de fonction {S(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{x e^{-nx}}{\ln(n)}}.
On étudie la série de fonction {S(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{x e^{-nx}}{\ln(n)}}.
Série alternée de fonctions
(Oral Ccp)
Étudier {S(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n}\text{e}^{-(n+1)x}}
Étudier {S(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n}\text{e}^{-(n+1)x}}
Une série de fonctions
(Oral Ccp)
Définition et continuité de {x\mapsto S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2}}{\text{e}^{-2nx}+\text{e}^{3nx}}}.
Définition et continuité de {x\mapsto S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2}}{\text{e}^{-2nx}+\text{e}^{3nx}}}.
Dérivabilité d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Caractère \mathcal{C}^1 ou \mathcal{C}^2 de S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+nx^2)}{n^2}.
Caractère \mathcal{C}^1 ou \mathcal{C}^2 de S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+nx^2)}{n^2}.
Une série de fonctions alternée
(Oral Mines-Ponts)
Domaine, dérivée, variations, étude aux bornes, pour {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!\,(x+n)}}.
Domaine, dérivée, variations, étude aux bornes, pour {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!\,(x+n)}}.
CV uniforme d’une série de fonctions
(Oral Mines-Ponts et Ccp)
Convergence et continuité de {f(x)=\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Mêmes questions avec {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Convergence et continuité de {f(x)=\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Mêmes questions avec {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Fonctions Zeta et Zeta alternée
(Oral Mines-Ponts)
Soient {f\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{x}}} et {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{x}}}.
Étudier les domaines de {f} et {g}, les limites de {f} aux bornes, la continuité et la dérivabilité de {g}.
Donner une relation entre {f} et {g}, puis un équivalent de {f(x)} quand {x\to1}.
Soient {f\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{x}}} et {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{x}}}.
Étudier les domaines de {f} et {g}, les limites de {f} aux bornes, la continuité et la dérivabilité de {g}.
Donner une relation entre {f} et {g}, puis un équivalent de {f(x)} quand {x\to1}.
Étude d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Dérivabilité et variations de {S:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{e^{-nx}}{1+n^2}}.
Dérivabilité et variations de {S:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{e^{-nx}}{1+n^2}}.
Série de fonctions, série entière
(Oral Ccp et Centrale)
Soit {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(a^nx)}, avec |a|\lt1.
On montre que {f} est {C^{\infty}}, puis qu’elle est développable en série entière sur \mathbb{R}.
Soit {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(a^nx)}, avec |a|\lt1.
On montre que {f} est {C^{\infty}}, puis qu’elle est développable en série entière sur \mathbb{R}.
Équation fonctionnelle et série
(Oral Centrale)
Trouver les {f\in{\mathcal C}^{0}([0,1],\mathbb{R})} telles que : {\forall\, x\in [0,1], f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{f(x^{n})}{2^{n}}}
Trouver les {f\in{\mathcal C}^{0}([0,1],\mathbb{R})} telles que : {\forall\, x\in [0,1], f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{f(x^{n})}{2^{n}}}
Une série de fonctions
(Oral Mines-Ponts)
Convergence et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\sin(x)\text{e}^{-nx}} sur {\mathbb{R}^{+}}.
Convergence et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\sin(x)\text{e}^{-nx}} sur {\mathbb{R}^{+}}.
Étude d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Domaine, continuité, étude aux bornes de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\text{e}^{-x\sqrt{n}}}.
Domaine, continuité, étude aux bornes de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\text{e}^{-x\sqrt{n}}}.
Une somme de série de fonctions
Dérivabilité d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Étudier le domaine et la dérivabilité de {S\,\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+n^{2}x^{2})}{n^{2}\ln(1+n)}}.
Étudier le domaine et la dérivabilité de {S\,\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+n^{2}x^{2})}{n^{2}\ln(1+n)}}.
Une série de fonctions
(Oral Centrale, Mines-Ponts, et Ccp)
Domaine de {S(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1+e^{-nt})}, variations, et limite en {+\infty}.
Domaine de {S(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1+e^{-nt})}, variations, et limite en {+\infty}.
Série de fonctions, télescopique
(Oral Centrale)
Domaine et expression de {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{(1-x^n)(1-x^{n+1})}}.
Domaine et expression de {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{(1-x^n)(1-x^{n+1})}}.
Un développement de arctan(x)
(Oral Mines-Ponts)
Montrer que, pour tout réel {x} : {\arctan(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{(2n+1)4^n (n!)^2}\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)^{2n+1}}
Montrer que, pour tout réel {x} : {\arctan(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{(2n+1)4^n (n!)^2}\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)^{2n+1}}
Étude d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Pour n\in\mathbb{N} et x\ge0, on pose {f_{n}(x) =\dfrac{x^{n}}{1+x^{2n}}}.
Continuité de {S=\displaystyle\sum f_n}, limites en 1 et en +\infty.
Pour n\in\mathbb{N} et x\ge0, on pose {f_{n}(x) =\dfrac{x^{n}}{1+x^{2n}}}.
Continuité de {S=\displaystyle\sum f_n}, limites en 1 et en +\infty.
Une série de fonctions, alternée
(Oral Mines-Ponts)
Convergence de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \ln \biggl(1\!+\!\dfrac{x}{n(1\!+\!x)}\biggr)}.
Calculer {\displaystyle\lim_{+\infty}f}.
Convergence de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \ln \biggl(1\!+\!\dfrac{x}{n(1\!+\!x)}\biggr)}.
Calculer {\displaystyle\lim_{+\infty}f}.
Dérivabilité dun produit infini
(Oral Centrale)
Montrer que {G(x)=\displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)e^{-{x}/{n}}} est de classe {{\mathcal C}^\infty} sur {\mathbb{R}^+}.
Montrer que {G(x)=\displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)e^{-{x}/{n}}} est de classe {{\mathcal C}^\infty} sur {\mathbb{R}^+}.
Dérivabilité de la fonction Zeta
(Oral Mines-Ponts)
Domaine, caractère \mathcal{C}^{\infty}, et limites aux bornes de {\zeta : x\mapsto \displaystyle\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n^x}}.
Domaine, caractère \mathcal{C}^{\infty}, et limites aux bornes de {\zeta : x\mapsto \displaystyle\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n^x}}.