Série alternée de fonctions
(Oral Ccp)
Étudier {S(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n}\text{e}^{-(n+1)x}}
Étudier {S(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n}\text{e}^{-(n+1)x}}
Séries de fonctions
Une série de fonctions
(Oral Ccp)
Définition et continuité de {x\mapsto S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2}}{\text{e}^{-2nx}+\text{e}^{3nx}}}.
Définition et continuité de {x\mapsto S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2}}{\text{e}^{-2nx}+\text{e}^{3nx}}}.
Dérivabilité d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Caractère \mathcal{C}^1 ou \mathcal{C}^2 de S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+nx^2)}{n^2}.
Caractère \mathcal{C}^1 ou \mathcal{C}^2 de S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+nx^2)}{n^2}.
Une série de fonctions alternée
(Oral Mines-Ponts)
Domaine, dérivée, variations, étude aux bornes, pour {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!\,(x+n)}}.
Domaine, dérivée, variations, étude aux bornes, pour {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!\,(x+n)}}.
CV uniforme d’une série de fonctions
(Oral Mines-Ponts et Ccp)
Convergence et continuité de {f(x)=\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Mêmes questions avec {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Convergence et continuité de {f(x)=\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Mêmes questions avec {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Fonctions Zeta et Zeta alternée
(Oral Mines-Ponts)
Soient {f\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{x}}} et {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{x}}}.
Étudier les domaines de {f} et {g}, les limites de {f} aux bornes, la continuité et la dérivabilité de {g}.
Donner une relation entre {f} et {g}, puis un équivalent de {f(x)} quand {x\to1}.
Soient {f\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{x}}} et {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{x}}}.
Étudier les domaines de {f} et {g}, les limites de {f} aux bornes, la continuité et la dérivabilité de {g}.
Donner une relation entre {f} et {g}, puis un équivalent de {f(x)} quand {x\to1}.
Étude d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Dérivabilité et variations de {S:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{e^{-nx}}{1+n^2}}.
Dérivabilité et variations de {S:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{e^{-nx}}{1+n^2}}.
Série de fonctions, série entière
(Oral Ccp et Centrale)
Soit {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(a^nx)}, avec |a|\lt1.
On montre que {f} est {C^{\infty}}, puis qu’elle est développable en série entière sur \mathbb{R}.
Soit {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(a^nx)}, avec |a|\lt1.
On montre que {f} est {C^{\infty}}, puis qu’elle est développable en série entière sur \mathbb{R}.
Équation fonctionnelle et série
(Oral Centrale)
Trouver les {f\in{\mathcal C}^{0}([0,1],\mathbb{R})} telles que : {\forall\, x\in [0,1], f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{f(x^{n})}{2^{n}}}
Trouver les {f\in{\mathcal C}^{0}([0,1],\mathbb{R})} telles que : {\forall\, x\in [0,1], f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{f(x^{n})}{2^{n}}}
Une série de fonctions
(Oral Mines-Ponts)
Convergence et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\sin(x)\text{e}^{-nx}} sur {\mathbb{R}^{+}}.
Convergence et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\sin(x)\text{e}^{-nx}} sur {\mathbb{R}^{+}}.
Étude d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Domaine, continuité, étude aux bornes de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\text{e}^{-x\sqrt{n}}}.
Domaine, continuité, étude aux bornes de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\text{e}^{-x\sqrt{n}}}.
Une somme de série de fonctions
Dérivabilité d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Étudier le domaine et la dérivabilité de {S\,\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+n^{2}x^{2})}{n^{2}\ln(1+n)}}.
Étudier le domaine et la dérivabilité de {S\,\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+n^{2}x^{2})}{n^{2}\ln(1+n)}}.
Une série de fonctions
(Oral Centrale, Mines-Ponts, et Ccp)
Domaine de {S(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1+e^{-nt})}, variations, et limite en {+\infty}.
Domaine de {S(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1+e^{-nt})}, variations, et limite en {+\infty}.
Série de fonctions, télescopique
(Oral Centrale)
Domaine et expression de {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{(1-x^n)(1-x^{n+1})}}.
Domaine et expression de {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{(1-x^n)(1-x^{n+1})}}.
Un développement de arctan(x)
(Oral Mines-Ponts)
Montrer que, pour tout réel {x} : {\arctan(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{(2n+1)4^n (n!)^2}\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)^{2n+1}}
Montrer que, pour tout réel {x} : {\arctan(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{(2n+1)4^n (n!)^2}\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)^{2n+1}}
Étude d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Pour n\in\mathbb{N} et x\ge0, on pose {f_{n}(x) =\dfrac{x^{n}}{1+x^{2n}}}.
Continuité de {S=\displaystyle\sum f_n}, limites en 1 et en +\infty.
Pour n\in\mathbb{N} et x\ge0, on pose {f_{n}(x) =\dfrac{x^{n}}{1+x^{2n}}}.
Continuité de {S=\displaystyle\sum f_n}, limites en 1 et en +\infty.
Une série de fonctions, alternée
(Oral Mines-Ponts)
Convergence de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \ln \biggl(1\!+\!\dfrac{x}{n(1\!+\!x)}\biggr)}.
Calculer {\displaystyle\lim_{+\infty}f}.
Convergence de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \ln \biggl(1\!+\!\dfrac{x}{n(1\!+\!x)}\biggr)}.
Calculer {\displaystyle\lim_{+\infty}f}.
Dérivabilité dun produit infini
(Oral Centrale)
Montrer que {G(x)=\displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)e^{-{x}/{n}}} est de classe {{\mathcal C}^\infty} sur {\mathbb{R}^+}.
Montrer que {G(x)=\displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)e^{-{x}/{n}}} est de classe {{\mathcal C}^\infty} sur {\mathbb{R}^+}.
Dérivabilité de la fonction Zeta
(Oral Mines-Ponts)
Domaine, caractère \mathcal{C}^{\infty}, et limites aux bornes de {\zeta : x\mapsto \displaystyle\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n^x}}.
Domaine, caractère \mathcal{C}^{\infty}, et limites aux bornes de {\zeta : x\mapsto \displaystyle\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n^x}}.
Séries de primitives
(Oral Ensam et Centrale)
Soit {f_0\in{\mathcal C}^0([a,b],\mathbb{R})} et : {\forall n\in\mathbb{N},\;\forall x\in[a,b],\;f_{n+1}(x)=\displaystyle\int_a^xf_n(t)\text{d}t}
Montrer que {\displaystyle\sum f_n} converge, et déterminer sa somme
Soit {f_0\in{\mathcal C}^0([a,b],\mathbb{R})} et : {\forall n\in\mathbb{N},\;\forall x\in[a,b],\;f_{n+1}(x)=\displaystyle\int_a^xf_n(t)\text{d}t}
Montrer que {\displaystyle\sum f_n} converge, et déterminer sa somme
Équivalent d’une somme de série
Somme d’une série de fonctions
(Oral Centrale)
Étude de la série de fonctions {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}}.
Étude de la série de fonctions {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}}.
Itérés d’un opérateur à noyau
(Oral X-Cachan)
Soit {K\in {\mathcal C}^{0}([a,b]^{2},\mathbb{C})} avec {K(x,y) = 0} si {x\le y}.
À {u\in{\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C})}, on associe {v=T_{K}(u)} définie par : {\forall\, x\in[a,b],\;v(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}K(x,y)\,u(y)\text{d}y}.
On étudie les itérés de T_K.
Soit {K\in {\mathcal C}^{0}([a,b]^{2},\mathbb{C})} avec {K(x,y) = 0} si {x\le y}.
À {u\in{\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C})}, on associe {v=T_{K}(u)} définie par : {\forall\, x\in[a,b],\;v(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}K(x,y)\,u(y)\text{d}y}.
On étudie les itérés de T_K.
Une équation fonctionnelle
(Oral Centrale)
On cherche les {f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow \mathbb{R}} telles que : {\displaystyle\lim_{+\infty}f= 0\text{\ et \ }\forall x\gt0,\;f(x\!+\!1)\!+\!f(x)\!=\!\dfrac{1}{x}}On montre l’existence et l’unicité de la solution {f}.
On en donne l’expression sous la forme de la somme d’une série de fonctions.
On cherche les {f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow \mathbb{R}} telles que : {\displaystyle\lim_{+\infty}f= 0\text{\ et \ }\forall x\gt0,\;f(x\!+\!1)\!+\!f(x)\!=\!\dfrac{1}{x}}On montre l’existence et l’unicité de la solution {f}.
On en donne l’expression sous la forme de la somme d’une série de fonctions.
Interversion série-intégrale
(Oral Centrale)
Soit {(u_n)} une suite croissante de {\mathbb{R}^{+*}}, divergente.
Montrer que : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^ne^{-u_nx}\biggr)\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{u_n}.\quad}
Soit {(u_n)} une suite croissante de {\mathbb{R}^{+*}}, divergente.
Montrer que : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^ne^{-u_nx}\biggr)\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{u_n}.\quad}
Une série de fonctions
(Oral Centrale)
Soient {p\in\mathbb{N}} et {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^p e^{-nx}}.
Domaine et dérivabilité de {f}. Équivalent en {0^+}
Soient {p\in\mathbb{N}} et {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^p e^{-nx}}.
Domaine et dérivabilité de {f}. Équivalent en {0^+}
Convergence uniforme non normale
(Oral Ccp)
On définit les x\mapsto f_n(x)=\dfrac{x}{(x^{2}+n^{2})\ln(n)}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge2}f_n} est CVU mais pas CVN sur \mathbb{R}.
On définit les x\mapsto f_n(x)=\dfrac{x}{(x^{2}+n^{2})\ln(n)}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge2}f_n} est CVU mais pas CVN sur \mathbb{R}.
Intégrale et série de fonctions
(Oral Mines-Ponts)
On pose f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n+x} et g(x)\!=\!\!\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{x-1}}{t+1}\text{d}t.
Comparer f et g sur {\mathbb{R}^{+*}}.
On pose f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n+x} et g(x)\!=\!\!\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{x-1}}{t+1}\text{d}t.
Comparer f et g sur {\mathbb{R}^{+*}}.