Série de fonctions, convergence, somme
Série de fonctions {\sum f_n} définie par : {\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\forall\, x\in \mathbb{R}^+,f_n\left(x\right)=n\, x^2\text{e}^{-nx}}
Séries de fonctions
La série de fonctions ∑(-1)n/√(n+x)
Domaine et variations de {S\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+x}}}.
Une série de fonctions alternée
(Oral Ccp)
Convergence (simple, uniforme) et limite en 0^+ de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{x}\ln\left (1+\dfrac{x}{n}\right )}.
Convergence (simple, uniforme) et limite en 0^+ de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{x}\ln\left (1+\dfrac{x}{n}\right )}.
Variations d’une série de fonctions
(Oral CCinp et Mines-Ponts)
On pose {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(nx+1)}}.
Dérivabilité de {f}, et équivalent en {0} et en +\infty.
On pose {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(nx+1)}}.
Dérivabilité de {f}, et équivalent en {0} et en +\infty.
Continuité d’une série de fonctions
Dérivabilité d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Convergence et caractère {{\mathcal C}^1} de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{1+(nt)^2}}.
Convergence et caractère {{\mathcal C}^1} de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{1+(nt)^2}}.
Suite puis série de fonctions
Étudier la suite puis la série des {h_{n}(x)=x^{2n+1}\ln(x)}.
Série de fonctions, étude aux bornes
(Oral Ccp)
Pour {|a|\lt1} et x\gt0, étudier {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a^{n}}{n+x}}, notamment en 0^+ et +\infty.
Pour {|a|\lt1} et x\gt0, étudier {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a^{n}}{n+x}}, notamment en 0^+ et +\infty.
Limite d’une intégrale à paramètre
(Ooral Mines-Ponts)
Pour {x>0}, on pose {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\ln (t)\ln (1-t^{x})\,\text{d}t}.
Montrer que {f} est bien définie et l’écrire comme somme d’une série de fonctions.
Déterminer la limite de {f} en {0}.
Pour {x>0}, on pose {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\ln (t)\ln (1-t^{x})\,\text{d}t}.
Montrer que {f} est bien définie et l’écrire comme somme d’une série de fonctions.
Déterminer la limite de {f} en {0}.
Une série de fonctions
(Oral Ccp et Mines-Ponts)
On étudie la série de fonction {S(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{x e^{-nx}}{\ln(n)}}.
On étudie la série de fonction {S(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{x e^{-nx}}{\ln(n)}}.
Série alternée de fonctions
(Oral Ccp)
Étudier {S(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n}\text{e}^{-(n+1)x}}
Étudier {S(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n}\text{e}^{-(n+1)x}}
Une série de fonctions
(Oral Ccp)
Définition et continuité de {x\mapsto S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2}}{\text{e}^{-2nx}+\text{e}^{3nx}}}.
Définition et continuité de {x\mapsto S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2}}{\text{e}^{-2nx}+\text{e}^{3nx}}}.
Dérivabilité d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Caractère \mathcal{C}^1 ou \mathcal{C}^2 de S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+nx^2)}{n^2}.
Caractère \mathcal{C}^1 ou \mathcal{C}^2 de S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+nx^2)}{n^2}.
Une série de fonctions alternée
(Oral Mines-Ponts)
Domaine, dérivée, variations, étude aux bornes, pour {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!\,(x+n)}}.
Domaine, dérivée, variations, étude aux bornes, pour {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!\,(x+n)}}.
CV uniforme d’une série de fonctions
(Oral Mines-Ponts et Ccp)
Convergence et continuité de {f(x)=\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Mêmes questions avec {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Convergence et continuité de {f(x)=\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Mêmes questions avec {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Fonctions Zeta et Zeta alternée
(Oral Mines-Ponts)
Soient {f\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{x}}} et {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{x}}}.
Étudier les domaines de {f} et {g}, les limites de {f} aux bornes, la continuité et la dérivabilité de {g}.
Donner une relation entre {f} et {g}, puis un équivalent de {f(x)} quand {x\to1}.
Soient {f\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{x}}} et {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{x}}}.
Étudier les domaines de {f} et {g}, les limites de {f} aux bornes, la continuité et la dérivabilité de {g}.
Donner une relation entre {f} et {g}, puis un équivalent de {f(x)} quand {x\to1}.
Étude d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Dérivabilité et variations de {S:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{e^{-nx}}{1+n^2}}.
Dérivabilité et variations de {S:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{e^{-nx}}{1+n^2}}.
Série de fonctions, série entière
(Oral Ccp et Centrale)
Soit {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(a^nx)}, avec |a|\lt1.
On montre que {f} est {C^{\infty}}, puis qu’elle est développable en série entière sur \mathbb{R}.
Soit {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(a^nx)}, avec |a|\lt1.
On montre que {f} est {C^{\infty}}, puis qu’elle est développable en série entière sur \mathbb{R}.
Équation fonctionnelle et série
(Oral Centrale)
Trouver les {f\in{\mathcal C}^{0}([0,1],\mathbb{R})} telles que : {\forall\, x\in [0,1], f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{f(x^{n})}{2^{n}}}
Trouver les {f\in{\mathcal C}^{0}([0,1],\mathbb{R})} telles que : {\forall\, x\in [0,1], f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{f(x^{n})}{2^{n}}}
Une série de fonctions
(Oral Mines-Ponts)
Convergence et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\sin(x)\text{e}^{-nx}} sur {\mathbb{R}^{+}}.
Convergence et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\sin(x)\text{e}^{-nx}} sur {\mathbb{R}^{+}}.