Séries de fonctions
Exercices corrigés sur le thème « Séries de fonctions »

(Oral Ensam et Centrale)
Soit

{f_0\in{\mathcal C}^0([a,b],\mathbb{R})}

et :

{\forall n\in\mathbb{N},\;\forall x\in[a,b],\;f_{n+1}(x)=\displaystyle\int_a^xf_n(t)\text{d}t}

Montrer que

{\displaystyle\sum f_n}

converge, et déterminer sa somme

(Oral Ensam)
Nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\text{e}^{-n^2x^2}}

et équivalent en

{0^+}

(Oral Centrale)
Étude de la série de fonctions

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}}

(Oral X-Cachan)
Soit

{K\in {\mathcal C}^{0}([a,b]^{2},\mathbb{C})}

avec

{K(x,y) = 0}

{x\le y}

.
À

{u\in{\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C})}

, on associe

{v=T_{K}(u)}

définie par :

{\forall\, x\in[a,b],\;v(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}K(x,y)\,u(y)\text{d}y}

.
On étudie les itérés de

T_K

(Oral Centrale)
On cherche les

{f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow \mathbb{R}}

telles que :

{\displaystyle\lim_{+\infty}f= 0\text{\ et \ }\forall x\gt0,\;f(x\!+\!1)\!+\!f(x)\!=\!\dfrac{1}{x}}

On montre l’existence et l’unicité de la solution

{f}

.
On en donne l’expression sous la forme de la somme d’une série de fonctions.

(Oral Centrale)
Soit

{(u_n)}

une suite croissante de

{\mathbb{R}^{+*}}

, divergente.
Montrer que :

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^ne^{-u_nx}\biggr)\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{u_n}.\quad}

(Oral Centrale)
Soient

{p\in\mathbb{N}}

{f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^p e^{-nx}}

.
Domaine et dérivabilité de

{f}

. Équivalent en

{0^+}

(Oral Ccp)
On définit les

x\mapsto f_n(x)=\dfrac{x}{(x^{2}+n^{2})\ln(n)}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge2}f_n}

est CVU mais pas CVN sur

\mathbb{R}

(Oral Mines-Ponts)
On pose

f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n+x}

g(x)\!=\!\!\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{x-1}}{t+1}\text{d}t

.
Comparer

f

g

sur

{\mathbb{R}^{+*}}