Fonctions Zeta et Zeta alternée

(Oral Mines-Ponts)
Soit {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{x}}} et {g(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{x}}}.

  1. Déterminer les domaines {\mathcal{D}_{1},\mathcal{D}_{2}} de {f} et {g}.
  2. Étudier les limites de {f} aux bornes de {\mathcal{D}_{1}}.
  3. Étudier la continuité et la dérivabilité de {g}.
  4. Donner une relation entre {f} et {g}, puis un équivalent de {f(x)} quand {x\to1}.

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