Mines-Ponts
Exercices corrigés donnés au concours « Mines-Ponts »

Intégrale trigonométrique à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
Un exercice très complet, pour calculer

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos (xt)}{1+t^{2}}\mathrm{d}t}

➡️

Intégrale et équation différentielle

(Oral Mines-Ponts)
On admet que

{\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{-t^{2}}\,\text{d}t=\sqrt \pi}

.
On pose

{I(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \text{e}^{t x-t^{2}}\,\text{d}t}

.
Montrer que

{2I''(x)-x I'(x)-I(x)=0}

.
En déduire

{I(x)}

.
Retrouver ce résultat par une méthode directe.

➡️

Intégrale à paramètre et série

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f(x,t)=\dfrac{\sin (x t)}{\text{e}^{t}-1}}

{I(x)\!\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!f(x,t)\mathrm{d}t}

Montrer que

{I}

est

{\mathcal{C}^{1}}

sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer que

{I(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{k^{2}+x^{2}}}

.
En déduire

{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}I(x)}

➡️

Intégrales généralisées et séries

(Oral Mines-Ponts)
Trois exercices sur le thème « Intégrales généralisées et séries ».

➡️

Calcul d’une intégrale complexe

(Oral Mines-Ponts)
Calculer

{T(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{i t x}-1}{t} e^{-t}\,\text{d}t}

➡️

Intégrale de t^(t^x)

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f_x(t)=t^{t^x}=\text{e}^{t^x\ln t}}

{F(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f_x(t) \,\text{d}t}

.
Montrer que

{F}

est croissante et continue sur

{\mathbb{R}}

,
Écrire

{F(x)}

comme somme de série si

{x>0}

.
Étudier la limite de

{F}

{+\infty}

➡️

Intégrabilité d’une intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{a>1}

. On pose

{F(x)=\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \!\!\!\dfrac{\text{d}t}{\left(x^{2}+t^{2}\right)^{a}}}

.
Montrer que

{F}

est

{\mathcal{C}^{1}}

sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer qu’elle vérifie une équation différentielle.
Montrer que

{F}

est intégrable sur

{\mathbb{R}}

➡️

Le centre d’appels téléphoniques

(Oral Mines-Ponts et Centrale)
Un centre d’appel doit contacter

{n}

clients.
Chacun décroche avec une probabilité

{p\in ]0,1[}

.
Dans une 1ère vague d’appels,

{X_{1}}

clients décrochent.
Soit

{X_{2}}

le nombre de clients qui ne décrochent qu’à la deuxième vague, etc.

{X_{1},X_{2}}

sont-elles indépendantes ? Quelle est la loi de

{X_k}

?
Quelle est la loi du numéro

{Y_{i}}

de la vague d’appels à laquelle le i-ème client décroche enfin?

➡️

Probabilités et diagonalisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{X,Y}

deux v.a.r. à valeurs dans

{[[1,n+1]]}

, avec :

{\mathbb{P}(X=i,Y=j)=\dfrac{1}{4^{n}}\dbinom{n}{i-1}\dbinom{n}{j-1}}

Loi de

{X}

{X,Y}

sont elles indépendantes ?
Diagonaliser la matrice

{M\in\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})}

de coefficients

{m_{ij}=\mathbb{P}(X=i,Y=j)}

➡️

Inégalités et espérance

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{Z>0}

une v.a.r ayant une variance.
Soit

{a \in\,]0,1[}

. Montrer que :

{\mathbb{P}(Z\geq a\mathrm{E}(Z))\geq (1-a)^{2}\dfrac{\mathrm{E}(Z)^{2}}{\mathrm{E}(Z^{2})}}

➡️

Tchebychev le bien aimé

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{X}

une variable aléatoire de loi

{\mathcal{P}(\lambda)}

.
Montrer que

{\mathbb{P}(X\geq \lambda + 1) \leq \lambda}

.
Montrer que

{\mathbb{P}\left(X\leqslant \dfrac{\lambda}{3}\right) \leq \dfrac{9}{4\lambda}}

➡️

Fonctions de variables de même loi

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{X_{1},X_{2}}

deux v.a.r à valeurs dans

{\mathbb{R}^{+*}}

, indépendantes et de même loi.
Soit

{Y_{1}=\dfrac{X_{1}}{X_{1}+X_{2}}}

{Y_{2}=\dfrac{X_{2}}{X_{1}+X_{2}}}

Montrer que

{Y_{1}}

a une espérance et une variance.
Calculer

{E\left(Y_{1}\right)}

et montrer que

{\text{cov}\left(Y_{1},Y_{2}\right) =-V\left(Y_{1}\right)}

➡️

Étude d’extrema locaux

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{f(x,y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x}}

{f(0,0)=1}

Continuité et dérivées partielles de

{f}

{(0,0)}

?
Déterminer les extrema de

{f}

sur

{\mathbb{R}^{2}}

➡️

M'(x)=A(x)M(x), avec A antisymétrique

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathcal{A}_{n}(\mathbb{R}))}

{M\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}))}

.
On suppose :

{\forall\,x\in\mathbb{R},\;M'(x)=A(x)M(x)}

.
On suppose :

{M(0)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}

.
Montrer que :

{\forall\,x\in\mathbb{R},\; M(x)\in\mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Équivalents d’intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{F\colon x \rightarrow \dfrac{1}{x} \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{1-e^{-t x}}{1+t^{2}} \,\text{d}t}

.
Montrer que

{F}

est

{\mathcal{C}^{2}}

sur

{\mathbb{R}^{+*}}

.
Trouver un équivalent de

{F}

{+\infty}

, et en

{0}

➡️

Calcul d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\! \dfrac{\text{d}t}{\left(1+t^{2}\right)\left(1+t^{x}\right)}}

.
Montrer que

{F}

est définie sur

{\mathbb{R}^{+}}

.
Calculer

{F(0)}

{\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)}

.
Calculer

{F(x)}

pour tout

{x\gt0}

➡️

Une autre intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{x>1}

, on pose :

{F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-x t} \dfrac{\,\text{sh} t}{t} \mathrm{d} t}

.
Vérifier que

{F}

est définie.
Préciser

{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)}

. Calculer

{F(x)}

➡️

Une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

, et

{g(x)=\!\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f(x t)\ln(t)\mathrm{d}t}

.
Monter que

{g\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

. Préciser

{g(0)}

{g'(0)}

➡️

Série entière des ln(n)x^n

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}

.
Soit

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}H_n x^{n}}

{g(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \ln (n) x^{n}}

Donner le rayon de

{f}

{g}

, et calculer

{f(x)}

.
Montrer que

{f(x) \underset{1}\sim g(x)}

et trouver

{\displaystyle\lim_{-1}g(x)}

➡️

Série entière à la Wallis

(Oral Mines-Ponts)
Pour tout

{n\ge\mathbb{N}}

, on pose

{a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \cos^{n}t\,\text{d}t}

.
Étudier la série entière

{\displaystyle\sum_{n\ge0}a_nx^n}

➡️

Condition suffisante d’intégrabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+*}}

continue par morceaux.
On suppose que

{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x+1)}{f(x)}=\alpha\in [0,1[}

.
Montrer que

{f}

est intégrable sur

{\mathbb{R}^{+}}

➡️

Une intégrale d’intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{F : x \rightarrow \displaystyle\int_{x}^{+\infty} \dfrac{\sin t}{t^{2}}\,\text{d}t}

.
Montrer que

{F}

est intégrable sur

{\mathbb{R}^{+^{*}}}

.
Monrer que

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!F(x)\,\text{d}x=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin u}{u}\mathrm{d}u}

➡️

Une intégrale pas si complexe

(Oral Mines-Ponts)
Calculer

{F(y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\!\!\dfrac{\text{d}x}{\left(1+x^{2}\right) \left(1+ixy\right)}}

➡️

Approximation par somme de Riemann

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R})}

{M_{n}(f)=\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\dfrac{k}{n}\right)}

Montrer que : ${\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\,\mathrm{d}t=M_{n}(f)+\dfrac{f(1)-f(0)}{2 n}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}$

➡️

Minimisation d’une fonctionnelle

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{F}

l’ensemble des fonctions

{f}

de classe

{\mathcal{C}^{1}}

sur

{[0,1]}

telles que

{f(0)=0}

{f(1)=1}

.
Montrer que :

{\forall\,f\!\in\!F,\displaystyle\int_{0}^{1}\!|f'(t)-f(t)|\,\text{d}t>\dfrac{1}{\text{e}}}

➡️

Une équation intégrale

(Oral Mines-Ponts)
On considère l’équation d’inconnue

{f\in C^{0}(\mathbb{R}^{+})}

{(E) :\forall\,x\geq0,\;x^{2}f(x)=2\displaystyle\int_{0}^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t}

Montrer que toute solution

{f}

est

{C^{\infty}}

sur

{\mathbb{R}^{+*}}

.
Déterminer toutes les solutions de

{(E)}

➡️

La règle de Raabe-Duhamel

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{\alpha \in\mathbb{R}}

{\left(u_{n}\right)_{n\ge0}}

une suite de

{\mathbb{R}^{+*}}

.
On suppose que

{\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=1-\dfrac{\alpha}{n}+\text{O}\left(\dfrac{1}{n^{2}}\right)}

.
Déterminer la nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n}

➡️

Suites lentement convergentes

(Oral Mines-Ponts)
Soit une suite

{(u_n)}

convergente à termes tous distincts.
On dit que

{(u_n)}

est lentement convergente si :

{\exists\,\rho\!>\!0,\exists\,N\!\ge\!1,\forall n\!\geq\! N,|u_{n+1}\!-\!u_{n}|\!\ge\! \rho\,|u_{n}\!-\!u_{n-1}|}

Étudier le cas des suites géométriques, et de

{u_{n}=\dfrac{1}{n!}}

Montrer que nécessairement

{\rho \in\,] 0,1[}

➡️

Limite d’une suite de points fixes

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f :\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+}

, continue et décroissante.
Soit

{(r_{n})}

, strictement décroissante, de limite

{1}

.
On pose

{f_{n}=r_{n}f}

pour tout

{n\in\mathbb{N}}

.
Montrer que

{f,f_n}

ont un seul point fixe

{I,I_n}

.
Étudier la convergence de la suite

{\left(I_{n}\right)}

➡️

Analyse d’une suite implicite

(Oral Mines-Ponts)
On se donne un réel

{c\in\mathbb{R}^{+*}}

.
Soit

{(E) :x\sin x = c\cos x}

, d’inconnue

{x\in\mathbb{R}^{+*}}

.
Montrer que (E) a une unique solution

{x_n}

dans chaque

{I_{n}=\big]n\pi ,\,n\pi\!+\!\pi/2\big[}

(

{n\in\mathbb{N}}

).
Développer

{x_{n}}

à la précision

{\dfrac{1}{n^3}}

➡️

Développement d’une suite implicite

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que :

{\forall\,n\!\in\!\mathbb{N}^{*},\;\exists\,!\,x_{n}\!>\!0,\;x_{n}^{n}+x_{n}=3}

.
Développer

{x_{n}}

à la précision

{\dfrac{1}{n^2}}

➡️

Deux suites récurrentes

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{\left(r_{n}\right)_{n\ge0}}

une suite de

{\mathbb{R}^{+*}}

de limite

{r>0}

.
On pose

{\begin{cases}a_{0}=1\\b_{0}=1\end{cases}}

{\begin{cases}(1) :a_{n+1}=a_{n}\!+\!b_{n}/2\\(2) :b_{n+1}=r_{n}\left(4a_{n}\!+\!b_{n}\right)\end{cases}}

Justifier que

{\lim\limits_{+\infty}a_{n}=\lim\limits_{+\infty}b_{n}=+\infty }

.
On suppose que

{n\mapsto q_{n}=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}}

est monotone.
Donner sa limite, et

{k>0}

tel que

{b_{n}\stackrel{+\infty}{\sim}ka_{n}}

➡️

Récurrences croisées

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{\alpha ,\beta}

dans

{\mathbb{R}^{+*}}

. On pose

{a_{1}=b_{1}=1}

puis :

{\begin{array}{l}(1) : a_{n+1}=a_{n}+\beta b_{n}\\[6pt](2) : b_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\left(\alpha a_{n}+b_{n}\right)\end{array}}

Justifier que

{\lim\limits_{+\infty}a_{n}=\lim\limits_{+\infty}b_{n}=+\infty }

.
On suppose que

{n\mapsto a_{n+1}/a_{n}}

est monotone.
Montrer qu’elle converge et que

{b_{n}\stackrel{_{+\infty}}{\sim}\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}}a_{n}}

➡️

Un prolongement lipschitzien

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\ne\emptyset}

une partie d’un espace vectoriel normé

{E}

.
Soit

{f:A\rightarrow \mathbb{R}}

{k}

-lipschitzienne

{(k>0)}

.
Pour tout

{x\in E}

, on note

{\Delta_x=\{f(a)+k\|x-a\|,\;a\in A\}}

Justifier la notation

{g(x)=\inf\Delta_x}

et montrer que

{g}

est un prolongement

{k}

-lipschitzien de

{f}

{E}

tout entier.

➡️

Une bijection lipschitzienne

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace vectoriel normé.Pour

{x\in E}

, on pose

{f(x)=\dfrac{x}{1+\Vert x\Vert}}

.Montrer que

{f}

est une bijection de

{E}

sur la boule unité ouverte

{B}

, et que

{f}

est lipschitzienne.

➡️

Deux normes équivalentes

(Oral Mines-Ponts)
On note

{E=\mathcal{C}^{1}([0,1],\mathbb{R})}

.
Soit

{\varphi \in E}

telle que

{J=\displaystyle\int_{0}^{1}\varphi (t)\mathrm{d}t\neq 0}

.
Pour toute

{f\in E}

, on pose :

{\begin{array}{rl}N(f)&=|f(0)|+\displaystyle\int_{0}^{1}|f'(t)|\mathrm{d}t\\[9pt]N_{\varphi}(f)&=\left\vert \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\varphi (t)\mathrm{d}t\right|+\displaystyle\int_{0}^{1}|f'(t)|\mathrm{d}t\end{array}}

Montrer que

{N}

{N_{\varphi}}

sont des normes équivalentes.

➡️

Double minimisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})}

une matrice symétrique.
Soit

{\rho (A)=\max \{|\lambda|,\;\lambda \in\text{Sp}(A)\}}

.
Soit

{E}

l’ensemble des vecteurs propres unitaires de

{A}

. Pour

{X\in E}

, on pose :

{\begin{cases}F(A,X)=\inf \left\{\text{tr}(A-\mu\,XX^{\top})^{2},\;\mu\in\mathbb{R}\right\}\\[6pt]m(A)=\inf \{F(A,X),X\in E\}\end{cases}}

Montrer que

{m(A)=\text{tr}\left(A^{2}\right) -\rho\left(A^{2}\right)}

➡️

Conditions pour une isométrie

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

, avec

{E}

euclidien.
Montrer que deux propriétés entraînent la troisième :

{(i)}

{u}

est une isométrie

{(ii)}

{u^{2}=-\text{Id}}

{(iii)}

{\forall\,x\in E,\;(u(x)\mid x) =0}

➡️

Conservation des distances et linéarité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace préhilbertien réel.
Soit

{f\colon E\to E}

vérifiant

{f(0)=0}

et :

{\forall\,(x,y)\in E^{2},\;\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|}

Montrer que

{(f(x)\mid f(y))=( x\mid y)}

Montrer que

{f}

est linéaire.

➡️

Nilpotent plus diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension finie.
Soit

{n}

un endomorphisme nilpotent de

{E}

.
Soit

{v\in\text{GL}(E)}

tel que

{vn=nv}

.
Montrer que

{\det(v+n)=\det(v)}

.
Soit

{d}

diagonalisable tel que

{dn=nd}

.
Montrer que

{\det(d+n)=\det(d)}

➡️

Polynôme annulateur et trace

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que :

{A^{4}+A^{3}+A^{2}+A+I_{n}=0}

On suppose

{\text{tr}(A)\in\mathbb{Q}}

. Montrer que

{4\mid n}

➡️

Sous-espaces stables, commutant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=\begin{pmatrix}{1} & {j} & {j^{2}} \\ {j} & {j^{2}} & {1} \\ {j^{2}} & {1} & {j}\end{pmatrix}}

, où

{j=\text{e}^{2i\pi/3}}

.
La matrice

{A}

est-il diagonalisable ?
Déterminer les sous-espaces stables par

{A}

.
Déterminer la dimension de :

{\mathcal{C}_A=\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}

➡️

Ordre d’une matrice entière de taille 2

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}

, d’ordre fini

{k\ge1}

{A^{k}=I_n\;\text{et}\;\forall\,j\in[1,k[,\;A^{j}\neq I_n}

Que dire de

{A}

, en termes de réduction ?
Préciser les ordres possibles de

{A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})}

➡️

À la manière du déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{D :E=\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\to\mathbb{\mathbb{K}}}

non constante.
On suppose que :

{\forall\,(A,B)\in E^2,\;D(AB)=D(A)D(B)}

.
Montrer que

{A\in E}

est inversible

{\Leftrightarrow D(A)\neq 0}

➡️

Essouflement des noyaux

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension finie.
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

. On note

{\begin{cases}n_k=\dim\text{Ker} (u^k)\\ d_k=n_{k+1}-n_{k}\end{cases}}

Montrer que

{(d_k)}

est décroissante.

➡️

Projecteur composé de nilpotents

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{1\le i,j,k\le n}

, soit

{a_{ij}^{(k)}=\begin{cases}1\text{\ si\ }i=j+k\\0\text{\ sinon}\end{cases}}

Soit

{A_{k}=\left(a_{ij}^{(k)}\right)_{1\leq i,j\leq n}}

. Calculer

{M_k=A_{k}^{\top}A_{k}}

.
Soit

{p\neq \text{Id}}

un projecteur de

{\mathbb{R}^{n}}

. Montrer que

{p}

est la composée de deux endomorphismes nilpotents.

➡️

Nature de séries avec paramètres

Six exercices où il est question de déterminer la nature d’une série dont le terme général dépend de un ou deux paramètres.

➡️

Permutation des termes d’une série

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{n\in\mathbb{N}^*}

, on pose

{\begin{cases}\sigma(3n)=4 n\\\sigma(3n-1)=2n-1\\\sigma(3 n-2)=4n-2\end{cases}}

Montrer que

{\sigma}

est bijective.
On pose

{u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n}}

{v_{n}=u_{\sigma(n)}}

.
Convergence et sommes de

{\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n}

{\displaystyle\sum_{n\ge1} v_n}

➡️

Somme d’une série d’intégrales

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{(p,q)\in\mathbb{N}^{2}}

, calculer

{I_{p,q}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{p}(1-t)^{q}\,\text{d}t}

.
Déterminer la nature et la somme de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}I_{n,n}}

➡️

Une recherche d’équivalent

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a,b)\in(\mathbb{R}^{+*})^2}

.
Montrer que :

{\displaystyle\prod_{k=1}^n (a+kb)^{1/n}\sim b(n!)^{1/n}}

➡️