Intégrabilité d’une intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Soit {a>1}. On pose {F(x)=\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \!\!\!\dfrac{\text{d}t}{\left(x^{2}+t^{2}\right)^{a}}}.

  1. Montrer que {F} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}}.
  2. Montrer qu’elle vérifie une équation différenttielle.
  3. Montrer que {F} est intégrable sur {\mathbb{R}}.

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