Développements asymptotiques
Cinq exercices de calculs de développements asymptotiques
Spé
Résolutions d’EDP d’ordre 1
Quatre exemples simples d’équations aux dérivées partielles d’ordre 1, résolues par changement de variable affine ou en polaires.
Différentielle du déterminant
On calcule ici la différentielle de l’application déterminant au point {I_n}.
Passage en sphériques
On considère le passage en coordonnées sphériques {r,\theta,\varphi} dans l’espace, et on calcule les dérivées partielles de ces trois coordonnées en {x,y,z}.
Le principe du maximum
On montre que si une fonction {f} est {\mathcal{C}^{2}} et harmonique sur un ouvert borné {\Omega}, et continue sur l’adhérence de {\Gamma}, alors le maximum de f{f} est atteint en un point de la frontière de {\Omega}.
Fonctions harmoniques
On étudie ici certaines des propriétés des fonctions harmoniques, c’est-à-dire de classe {\mathcal{C}^{2}} et de laplacien identiquement nul.
Résolution d’une EDP
On résout une équation aux dérivées partielles secondes en utilisant un changement de variables.
Études de f(x,y) en (0,0)
On étudie ici la continuité, l’existence de dérivées partielles, et le caractère {\mathcal{C}^{1}} de deux fonctions numériques des deux variables {x} et {y}.
Extrema locaux
Trois exercices sur la recherche d’extrema locaux d’une fonction numérique de deux variables réelles.
Tangente à une conique
On voit comment former, par un moyen mnémotechnique de dédoublement des variables, l’équation de la tangente en un point d’une conique quelconque.
Schwarz, un contre-exemple
On étudie une fonction réelle {f} de classe {\mathcal{C}^1} sur {\mathbb{R}^2}, mais dont les dérivées partielles croisées à l’origine sont distinctes.
QCM (suites et séries de fonctions)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 18 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Suites et séries de fonctions ».
QCM (séries numériques)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 16 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Séries numériques ».
QCM (séries entières)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 19 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Séries entières ».
QCM (réduction, partie 2)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 16 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Réduction ».
QCM (réduction, partie 1)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 17 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Réduction ».
QCM (matrices)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 18 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Matrices ».
QCM (intégration, partie 2)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 17 questions, une seule réponse est correcte) sur le thème « Intégration sur un intervalle quelconque ».
QCM (intégration, partie 1)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 17 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Intégration sur un intervalle quelconque ».
QCM (espaces vectoriels normés)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 21 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Espaces vectoriels normés ».
QCM (applications linéaires)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 19 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Applications linéaires ».
QCM (espaces euclidiens)
Un questionnaire sur le thème « Espaces euclidiens ». Pour chacune des 17 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte.
QCM (orthogonalité)
Un questionnaire sur le thème « Orthogonalité ». Pour chacune des 19 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte.
QCM (déterminants)
Un questionnaire sur le thème « Déterminants ». Pour chacune des 21 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte.
QCM (dérivation)
Un questionnaire sur le thème « Dérivation ». Pour chacune des 19 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte.
QCM (analyse asymptotique)
Un questionnaire sur le thème « Analyse asymptotique ». Pour chacune des 17 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte.
Contrôle (équations différentielles)
Un contrôle sur les équations différentielles linéaires d’ordre 1 ou 2. On demande l’expression de la solution générale et l’intervalle de résolution.
Développement d’intégrale à paramètre
(Oral Centrale) On étudie {F(t)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{f(x)}{1+tf(x)}\text{d}x}, où {f} est continue positive intégrable sur {\mathbb{R}^+}.
Théorème de Rouché pour les polynômes
(Oral Centrale) On montre que si {P} et {Q} sont deux polynômes tels que {|z|=r \Rightarrow |P(z)−Q(z)|\lt|Q(z)|}, alors ils ont le même nombre de racines dans {D(0,r)}.
Suite d’intégrales trigonométriques
(Orale Centrale) On calcule les intégrales {J_n(y)=\displaystyle\int_0^\pi\dfrac{\cos nx-\cos ny}{\cos x-\cos y}\text{d}x}
Majoration optimale d’une intégrale
(Oral Centrale) On majore la valeur absolue de l’intégrale de {f} sur {[0,1}, où {f} décrit l’espace des fonctions de classe {\mathcal{C}^2} sur {[0,1]} et telles que {f(0)=f(1)=f'(1)=0}.
Intégrale de exp(-x^4)cos(xt)
(Oral Centrale) On étudie l’intégrale à paramètre {f(t)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\!\!\text{e}^{-x^4}\cos(xt)\,\text{d}x}
Intégrale de arctan(x tan(t))
(Oral Centrale) On étudie l’intégrale à paramètre {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\!\!\!\arctan(x \tan(t))\text{d}t}.
Un problème d’extrema liés
(Oral Centrale) On s’intéresse au maximum d’une fonction {f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}} polynomiale homogène en les coordonnées {x_i}, sur un certain polygone de {\mathbb{R}^n}.
Équation différentielle du 2nd ordre
(Oral Centrale) Soit {q :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{-*}} continue strictement négative. On s’intéresse aux solutions sur {\mathbb{R}^{+}} de l’équation différentielle {\left( \mathcal{E}_{q}\right) :y''+q(x)y=0}.
Développement asymptotique et EQD
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on montre que toute solution de l’équation différentielle {y'=1/(1+x^2+y^2)} a un développement asymptotique à tout ordre en {1/x} en {+\infty}
Équation fonctionnelle et série entière
(Oral Centrale) On considère l’unique fonction {\mathcal{C}^\infty} vérifiant {y^3(x)+y(x)+x=0}. On vérifie que {y(x)} satisfait à une équation différentielle linéaire d’ordre 2, et on en déduit que {y(x)} est développable en série entière.
Séries entières et sommes harmoniques
(Oral centrale) On étudie une méthode de calcul de la somme de la série entière {\sum P(n)H_nx^n}, où {P} est un polynôme et où {H_n} est le {n}-ième nombre harmonique.
Sommes harmoniques et nombre d’Apery
(Oral Centrale) On définit un certain nombre de séries numériques dans lesquelles apparaissent les sommes harmoniques {H_n}. Par des manipulations algébriques, on exprime {\zeta(3)} (la constante d’Apery) comme la somme d’une telle série.
Séries entières à coefficients 0 ou 1
Oral Centrale) On s’intéresse aux séries entières dont les coefficients valent 0 ou 1 et à l’ensemble des complexes z qui annulent une telle série entière.
Série entière et matrice circulante
(Oral Centrale) On définit une famille de séries entières, base de l’espace des solutions de {y^{(n)}=y}. On calcule un déterminant circulant associé.
Série de fonctions et intégrales
(Oral Centrale) On définit une suite de polynômes (de Hilbert), et la suite {a_n} de leurs intégrales sur {[0,1]}. Par des techniques d’intégration et de séries, on calcule un équivalent de {a_n}.
Série entière et suite de Fibonacci
(Oral Centrale) On définit la suite de Fibonacci et une suite de polynômes associés. On étudie ensuite une série entière reliée à cette suite de polynômes.
Une somme (bis) de série entière
(Oral Centrale) On définit une série entière. Après en avoir déterminé le rayon de convergence, on en calcule la somme par une méthode d’équation différentielle.
Somme d’une série entière
(Oral Centrale) On calcule ici la somme d’une série entière, par des techniques de calcul intégral et d’interversion somme/intégrale. Très classique.
Série entière à coefficients factoriels
(Oral Centrale) On étudie une série entière de somme {f}. Après résolution d’une équation différentielle linéaire, on calcule {f} aux bornes de l’intervalle de convergence.
Série génératrice d’une récurrence linéaire
(Oral Centrale) On étudie la série entière génératrice d’une récurrence linéaire d’ordre 3. Par plusieurs points de vue, on résout cette récurrence.
Série de fonctions et Fibonacci
(Oral Centrale) On étudie la somme de la série de fonctions {\sum x^n/(1-x^n)}. On termine par une expression de la série des {1/F_{2n}}, où {F} est la suite de Fibonacci.
Une série de fonctions
Oral Centrale) On définit la fonction {\varphi(u)=u(1-u^2)/(1+u^2)}, et on étudie la série de fonctions {\sum\varphi(x^n)} (domaine, continuité, équivalent).
Série des inverses des nombres de Catalan
(Oral Centrale) On définit la suite des nombres de Catalan {c_n}. Par des méthodes de séries entières, on calcule la somme de la série des {1/c_n} et des {n/c_n}.