QCM (intégration, partie 2)

Voici un QCM sur le thème « Intégration ». Pour chacune des 17 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte. On réfléchira bien avant de choisir la bonne réponse, il peut y avoir des pièges.

Pour quelles valeurs de {\alpha\in\mathbb{R}^{+}} la fonction {t\mapsto\text{e}^{-(\ln t)^{\alpha}}} est-elle intégrable sur {[1,+\infty[}?
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. toutes
  2. {\alpha>0}
  3. {\alpha\ge1}
  4. {\alpha>1}

La bonne réponse ?
La réponse 4
Quel résultat est manifestement faux ?
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\text{e}^{t}\,\text{d}t}{1+t}\approx 1.125}
  2. {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-t}\,\text{d}t}{1+t}\approx 0.596}
  3. {\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos(\cos(t))\,\text{d}t\approx 4.152}
  4. {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\sin(t)}{\sqrt{t}}\,\text{d}t\approx 0.621}

La bonne réponse ?
La réponse 3
Soit {f\colon[0,1] \to \mathbb{R}}, continue. Que vaut {\ell=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\displaystyle\int_{0}^{1}\!f(x^{n})\,\text{d}x}?
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. {\ell=f(0)}
  2. {\ell=f(1)}
  3. {\ell=\displaystyle\int_{0}^{1}\!f(x)\,\text{d}x}
  4. {\ell=0}

La bonne réponse ?
La réponse 1
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