Méthode de Newton et convergence uniforme
(Oral Centrale) On définit une suite numérique par récurrence et avec une méthode de Newton. On étudie le mode de convergence en fonction du terme initial.
Spé
Suites récurrentes et produit de Cauchy
(Oral Centrale) On définit une suite numérique par récurrence forte. Par des arguments de séries entières, on obtient une expression explicite du terme général.
Une récurrence très sensible
(Oral Centrale) On étudie (avec Python, puis théoriquement) le comportement d’une suite récurrente, en fonction de la valeur de son terme initial.
Une récurrence linéaire d’ordre 2
(Oral Centrale) On étudie les suites {u} satisfaisant à une certaine récurrence linéaire d’ordre 2 à coefficients non constants (monotonie, domination puis équivalent en {+\infty}).
Étude d’une suite récurrente d’ordre 1
(Oral Centrale) On étudie les suites définies par la relation {u_{n+1}=f(u_n)}, où {f(x)=x+\ln x}. Dans le cas particulier {u_0=2}, on trouve un équivalent de {u_n}.
Équivalent dans une récurrence de pas 2
(Oral Centrale) On considère une suite {(x_n)} définie par une récurrence (non linéaire) de pas 2. Par l’utilisation d’une suite auxiliaire, on calcule un équivalent de {x_n}.
Ordre minimal d’une récurrence linéaire
(Oral Centrale) Si la suite {u} vérifie une récurrence linéaire d’ordre {p}, on étudie l’ordre minimal {r} d’une récurrence linéaire que pourrait vérifier {u}.
Développement en produit infini
(Oral Centrale) On définit une suite de fonctions par récurrence; on établit qu’elle converge vers une certaine fonction {f}, et avec une vitesse cubique de convergence.
Approximation de racines de polynômes
(Oral Centrale) On étudie la convergence de la suite formée de l’unique racine positive d’un polynôme {P_n}. On établit la vitesse de convergence de cette suite.
Développement d’une racine d’un polynôme
(Oral Centrale) On montre que la solution positive de {x^n=x+1} a un développement à tout ordre en {1/n}, et on calcule explicitement ce développement à la précision {1/n^3}.
Une comparaison de moyennes
(Oral Centrale) On étudie et on compare une famille (dépendant d’un paramètre {p}) de fonctions qui réalisent une moyenne de deux réels strictement positifs.
Une approximation de π
(Oral Centrale) On définit deux suites récurrentes {(a_n)} et {(b_n)}, puis une troisième suite {(c_n)} qui en dépend. Par des calculs asymptotiques, on voit que la suite {(c_n)}converge très rapidement vers π.
Une algèbre de matrices 3×3
(Oral Centrale) On considère un ensemble {E} de matrices carrées d’ordre 3, dépendant de deux paramètres. On montre que {E} est une sous-algèbre de {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}. On étudie les puissances et la diagonalisabilité des éléments de {E}.
Spectre de sous-matrices principales
(Oral Centrale) Soit {A} une matrice symétrique réelle, et {B} une sous-matrice principale de {A}. On montre que si {B} est à spectre simple, alors il en est de même de {A}, et les valeurs propres de {B} séparent celles de {A}.
Espace de matrices toutes diagonalisables
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on étudie la dimension maximale d’un sous-espace de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})} formé de matrices toutes diagonalisables, et on voit quelques exemples.
Sous-algèbre sans nilpotents
(Oral Centrale) Soit {\mathcal{A}} une sous-algèbre commutative de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}), contenant In et sans nilpotent. Alors {\dim(\mathcal{A})\le n} et les éléments de {\mathcal{A}} sont diagonalisables.
Réduction de matrices par blocs
(Oral Centrale) Si {M} est une matrice carrée, on forme la matrice par blocs {N=\begin{pmatrix}M&M^2\\0&M\end{pmatrix}}. On étudie la diagonalisabilité de {N}, et son polynôme minimal.
Matrices magiques et valeurs propres
(Oral Centrale) Pour toute matrice {A} magique à coefficients strictement positifs, on montre que 1 est valeur propre dominante et que le sous-espace propre est une droite.
Puissances d’un endomorphisme de L(E)
(Oral Centrale) On s’intéresse aux puissances de l’endomorphisme de {\mathcal{L}(E)} défini par {f(u)=(au+ua)/2}, selon les propriétés de l’endomorphisme {a} de {E}.
Itérations de f(M)=(AM+MA)/2
(Oral Centrale) On se donne une matrice {A} carrée d’ordre 3. On étudie les itérations de l’endomorphisme de {\mathcal{M}_3(\mathbb{K})} défini par {f(M)=(AM+MA)/2}.
Itération matricielle et approximation
(Oral Centrale) Soit une matrice carrée {A} d’ordre {n}, dépendant d’un paramètre {m}. On l’inverse, on la diagonalise, et on approche un vecteur propre de {A} pour la valeur propre de plus grand module.
L’application matricielle M -> AM+MA
(Oral Centrale) On étudie l’application matricielle définie sur {\mathcal{M}_{n}(\K)} par {\varphi(M)=AM+MA}, où {A} est une matrice à polynôme caractéristique scindé.
L’équation matricielle AX-XB=Y
(Oral Centrale) On s’intéresse à l’équation matricielle {AX-XB=Y}, où {A} et {B} sont deux matrices à spectres disjoints. Dans un cas particulier, on exprime la solution {X} sous forme de série matricielle.
Une matrice de Vandermonde
(Oral Centrale) On considère la matrice de Vandermonde {V}, carrée d’ordre {n}, dont le terme général est {W_n=\omega^{(k-1)(\ell-1)}}, avec {\omega=\exp(2i\pi/n)}. On calcule {\det(V)} et on diagonalise{V^2}.
Sous-espace de matrices qui commutent
(Oral Centrale) On détermine la dimension maximale d’un sous-espace de {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})} formé de matrices qui commutent deux à deux.
Transposée de la comatrice
(Oral Centrale) On étudie l’application qui à {x} complexe associe la transposée de la comatrice de {xI_n-A}, où {A} est dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}
L’ensemble des comatrices
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on détermine l’ensemble image de l’application qui à une matrice {A} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} associe sa comatrice.
Une preuve de Cayley-Hamilton
(Oral Centrale) On établit ici le théorème de Cayley-Hamilton par une méthode à base de calcul intégral et de série entière matricielle.
Spectre de matrices symétriques
(Oral Centrale) On étudie la fonction qui au réel {t} associe la valeur propre maximum de {u+tv,}, où {u} et {v} sont deux endomorphismes symétriques de {E} euclidien.
Matrices symétriques congruentes
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on montre que toute matrice symétrique réelle dont les sous-matrices principales sont à déterminant strictement positif est congruente à une matrice diagonale à coefficients strictement positifs (sans recours au théorème spectral bien sûr).
Un problème de minmax
(Oral Centrale) On s’intéresse aux conditions pour que la fonction {\max(f_1,f_2,\ldots,f_p)} admette localement un minimum (les {f_i} étant de classe {\mathcal{C}^1} sur {\mathbb{R}^n}
Système à diagonale dominante
(Oral Centrale) On considère des systèmes linéaires {AX=B}, où la matrice {A} est « à diagonale dominante ». On voit comment approcher l’unique solution par des itérations successives. On termine par une application numétique.
Minimiser une forme quadratique sur ℤxℤ
(Oral Centrale) On considère la forme quadratique {q(x,y)=rx^2+2sxy+ty^2}, avec {rt-s^2=3/4}, et on montre qu’il existe {(x,y)\in\mathbb{Z}^2} tel que {|q(x,y)|\le 1}.
Somme des distances à une droite
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on voit comment déterminer la droite qui minimise la somme des carrés des distances à une famille donnée de {p} points.
Rang et positivité d’une matrice symétrique
(Oral Centrale) On considère une matrice symétrique réelle {M} obtenue par bordures successives. On détermine des conditions sur les coefficients de {M} pour qu’elle soit positive ou définie-positive.
Décomposition polaire par minimisation
(Oral Centrale) On prouve, par un argument de minimisation, que toute matrice réelle {A} s’écrit {A=RS}, avec {R} orthogonale positive et {S} symétrique.
Décomposition en nilpotents
(Oral Centrale) On montre que tout endomorphisme non inversible d’un {\mathbb{C}}-espace de dimension finie est le composé d’au plus trois endomorphismes nilpotents.
Autour du produit de Kronecker
Oral Centrale) On rappelle la définition du produit de Kronecker {A\otimes B} de deux matrices, et on étudie l’existence d’une solution {M} à l’équation {AM = q MA}.
Décomposition en somme de carrés
(Oral Centrale) Soit {G} l’ensemble des éléments de {\mathbb{K}} qui peuvent s’écrire comme une somme de {2^n} éléments de {\mathbb{K}}. Par une récurrence matricielle, on montre que {G} est un sous-groupe de {\mathbb{K}^*}.
Identité matricielle AXB = BXA
(Oral Centrale). Dans {E=\mathcal{M}_n(\mathbb{K}K)}, on se donne {A,B } telles que {AXB=BXA} pour tout {X} de {E}. L’objectif de l’exercices est de montrer que {A} et {B} sont liées.
Équation au crochet de Lie
(Oral Centrale) On définit le crochet de Lie dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} par {[A,B]=AB-BA}. On détermine les matrices {A} telles qu’on ait toujours {[A,[A,[A,T]] = [A,T]}.
Déterminants et polynômes
(Oral Centrale). Soit {\Delta} le déterminant d’ordre {m} de terme général {P(j-i)}, où {P} est un polynôme unitaire de degré {n}. On calcule {\Delta} selon la valeur de {m}.
Triplets rectangulaires
(Oral Centrale) On s’intéresse aux triplets {(x,y,z)} d’entiers premiers entre eux dans leur ensemble et tels que {x^2+y^2=z^2}. On voit une méthode matricielle pour générer un nombre quelconque de solutions.
Sous-espaces de matrices inversibles
(Oral Centrale) On considère des sous-espaces de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})} dont toutes les matrices non nulles sont inversibles. On étudie la dimension maximale d’un tel sous-espace.
Sous-espaces de matrices nilpotentes
(Oral Centrale) On s’intéresse ici à des sous-espaces de matrices carrées d’ordre {n} toutes nilpotentes, et à la dimension maximale d’un tel sous-espace.
Points entiers sur une hyperbole
(Oral Centrale). On se propose de déterminer tous les points à coordonnées entières sur l’hyperbole d’équation {x^2-3y^2=1}. On procède pour cela par itération matricielle à partir de la solution évidente {(1,0)}.
Matrices semblables par blocs
(Oral Centrale). Dans cet exercice, on étudie des conditions équivalentes pour que les matrices par blocs {((A,0),(0,0)) } et {((A,B),(0,0))} soient semblables.
Matrices semblables de rang 1 ou 2
(Oral Centrale) On s’intéresse à deux endomorphismes {u,v} de {E}, de même rang 1 ou 2. On étudie des conditions suffisantes pour que{u,v} soient semblables.
Matrices semblables à leur inverse
(Oral Centrale) On étudie des conditions pour que des matrices inversibles, de taille 2 ou 3, soient semblables à leur inverse.
Matrices extrémales à coeffs dans [-1,1]
(Oral Centrale) Parmi les matrices carrées {A} de taille n telles que {|a_{i,j}|\le1}, on s’intéresse aux matrices dites extrémales, c’est-à-dire qui maximisent {|\det(A)|}. On voit comment former de telles matrices pour certaines valeurs de {n}.