Matrices semblables à leur inverse

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Toutes les matrices considérées dans cet exercice sont à coefficients réels.

Par « matrices semblables » on entend « matrices semblables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}« .

Question 1.a
Montrer que pour tout réel {a}, la matrice {A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} est semblable à son inverse.
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Question 1.b
Soient {(a,b)\in\mathbb{R}^{2}} avec {ab \neq 1}.
La matrice {A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & 1 \end{pmatrix}} est-elle semblable à son inverse ?
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Soient {a,b,c \in \mathbb{R}} et {A=\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & c \\ b & c & 1 \end{pmatrix}} inversible.

On pose {\delta=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.

Question 2.a
Former le polynôme caractéristique {\chi_{A}} de {A}.
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Question 2.b
Calculer les coefficients de {\chi_{A^{-1}}(X)} en fonction de {\delta} et {\det(A)}
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Question 2.c
À quelles conditions sur {a,b,c} la matrice {A} est-elle semblable à {A^{-1}}?
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Soient {a,b,c \in \mathbb{R}} et {A=\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}.

Question 3.a
Calculer {A^{-1}}.
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Question 3.b
On pose {N=A-I_3} et {M=A^{-1}-I_3}.
Montrer que {N} est semblable à {M}.
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Question 3.c
{A} est-elle semblable à son inverse ?
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