Exercice (oral Centrale/Supélec)
Toutes les matrices considérées dans cet exercice sont à coefficients réels.
Par « matrices semblables » on entend « matrices semblables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}« .
| Question 1.a Montrer que pour tout réel {a}, la matrice {A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} est semblable à son inverse. |
| Question 1.b Soient {(a,b)\in\mathbb{R}^{2}} avec {ab \neq 1}. La matrice {A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ b & 1 \end{pmatrix}} est-elle semblable à son inverse ? |
Soient {a,b,c \in \mathbb{R}} et {A=\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & c \\ b & c & 1 \end{pmatrix}} inversible.
On pose {\delta=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.
| Question 2.a Former le polynôme caractéristique {\chi_{A}} de {A}. |
| Question 2.b Calculer les coefficients de {\chi_{A^{-1}}(X)} en fonction de {\delta} et {\det(A)} |
| Question 2.c À quelles conditions sur {a,b,c} la matrice {A} est-elle semblable à {A^{-1}}? |
Soient {a,b,c \in \mathbb{R}} et {A=\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}.
| Question 3.a Calculer {A^{-1}}. |
| Question 3.b On pose {N=A-I_3} et {M=A^{-1}-I_3}. Montrer que {N} est semblable à {M}. |
| Question 3.c {A} est-elle semblable à son inverse ? |