Réduction
Exercices corrigés sur le thème « Réduction » pour Spé Mp,Mpi,Pc,Psi

(Oral Centrale). On relie une suite récurrente d’ordre 5 à la trace des puissances d’une matrice. On en déduit une propriété arithmétique de cette suite.

➡️

Diagonalisation d’une matrice en Z

(Oral Centrale)
Soit

{Z_n\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, définie par :

{\begin{cases}z_{ij}=1\text{\ si\ }(i\!=\!1\;\text{ou}\;i\!=\!n\;\text{ou}\;i\!+\!j=n\!+\!1)\\0\text{\ sinon}\end{cases}}

Prouver que

{Z_n}

est diagonalisable dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

Procéder à la diagonalisation efffective de

{Z_n}

.
Donner l’exemple de

{n=5}

{n=6}

➡️

Nilpotent plus diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension finie.
Soit

{n}

un endomorphisme nilpotent de

{E}

.
Soit

{v\in\text{GL}(E)}

tel que

{vn=nv}

.
Montrer que

{\det(v+n)=\det(v)}

.
Soit

{d}

diagonalisable tel que

{dn=nd}

.
Montrer que

{\det(d+n)=\det(d)}

➡️

Polynôme annulateur et trace

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que :

{A^{4}+A^{3}+A^{2}+A+I_{n}=0}

On suppose

{\text{tr}(A)\in\mathbb{Q}}

. Montrer que

{4\mid n}

➡️

Sous-espaces stables, commutant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=\begin{pmatrix}{1} & {j} & {j^{2}} \\ {j} & {j^{2}} & {1} \\ {j^{2}} & {1} & {j}\end{pmatrix}}

, où

{j=\text{e}^{2i\pi/3}}

.
La matrice

{A}

est-il diagonalisable ?
Déterminer les sous-espaces stables par

{A}

.
Déterminer la dimension de :

{\mathcal{C}_A=\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}

➡️

Ordre d’une matrice entière de taille 2

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}

, d’ordre fini

{k\ge1}

{A^{k}=I_n\;\text{et}\;\forall\,j\in[1,k[,\;A^{j}\neq I_n}

Que dire de

{A}

, en termes de réduction ?
Préciser les ordres possibles de

{A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})}

➡️

Matrices telles que A^T = A^2

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A}

une matrice de

{\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})}

telle que

{A^{\top}=A^{2}}

Étudier la diagonalisation de

{M=A^{\top}A}

.
Montrer que

{A}

est orthogonalement semblable à l’une des cinq matrices indiquées.

➡️

B polynôme en A ⇒ A polynôme en B ?

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

une matrice diagonalisable.
Soit

{B=A^{3}+A+I_{n}}

.
Si

{\mathbb{K}=\mathbb{R}}

, montrer que

{A}

est un polynôme en

{B}

.
Qu’en est-il si

{\mathbb{K}=\mathbb{C}}

?
Qu’en est-il si

{\mathbb{K}=\mathbb{R}}

, mais que

{A}

n’est pas supposée diagonalisable dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Conditions de diagonalisabilité (ou pas)

(Oral CCInp)
Soit

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}

, avec

{n\ge2}

.
On suppose

{f^{4}= f^{2}}

, et

{(\star)\;\{-1,1\}\subset\text{Sp}(f)}

.
L’endomorphisme

{f}

est-il nécessairement diagonalisable?
Et en remplaçant

{(\star)}

par

{\text{Ker}\,f=\text{Ker}\,f^{2}}

➡️

Sur les matrices de rang 1

(Oral CCInp)
Soit

{H\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}

, de rang

{1}

, de trace

{\delta}

.
Montrer que

{H^{2}=\delta H}

. Préciser

{\chi_H}

.
Si

{H+I_{n}}

est inversible, calculer

{(H+I_{n})^{-1}}

➡️

Un exemple de trigonalisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^3)}

tel que

{u^2\ne 0}

{u^5=0}

.
Montrer qu’il existe une base de

{\mathbb{R}^3}

dans laquelle la matrice de

{u}

est :

{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}

➡️

Un critère de diagonalisabilité

Oral Centrale
Soient

{E}

un espace vectoriel de dimension finie et

{f}

un
endomorphisme de

{E}

. Montrer que

{f}

est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace de

{E}

possède un supplémentaire stable par

{f}

➡️

Un critère de non diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E}

{\mathbb{C}}

-espace vectoriel de dimension finie et

{u\in\mathcal{L}(E)}

. On montre que

{u}

est non diagonalisable si et et seulement s’il vérifie la propriété : il existe un plan

{P}

{E}

stable par

{u}

et une base de

{P}

dans laquelle la matrice de l’endomorphisme induit par

{u}

s’écrit

{\begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}}

➡️

Racine n-ième d’une rotation

(Oral Mines-Ponts)
Sent

{M\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}),\;n\in \mathbb{N}}

avec

{M^{n}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}}

.
Soit

{\theta_{k}=\frac{(2k+1)\pi}{2n}}

{R_{k}=\begin{pmatrix}\cos\theta_{k} & -\sin\theta_{k} \\\sin\theta _{k} & \cos\theta _{k}\end{pmatrix}}

.
Montrer :

{\exists\,Q\in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}),\exists\,k\in \mathbb{N},\;Q^{-1}MQ=R_{k}}

➡️

Racines carrées matricielles

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{A\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})}

, on note :

{E_A=\{B\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}),\;B^{2}=A\}}

Trouver les

{A\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})}

telles que

{E_A}

soit fini non vide.
Que dire alors de

{\text{Card}(E_A)}

➡️

Réduction d’un endomorphisme intégral

(Oral Ensam)
Pour tout

{P\in \mathbb{R}_{n}[X]}

, on définit :

{U(P)(x)=e^{x}\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\!\!e^{-t}P(t)\,\text{d}t}

Montrer que

{U}

est un endomorphisme de

{\mathbb{R}_{n}[X]}

.
Est-il diagonalisable? Préciser son inverse.

➡️

Diagonalisabilité et déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension

{n}

.
Soit

{\mathcal{B}=(e_{1},\ldots,e_{n})}

une base de

{E}

.
Soit

{u=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}e_i}

{f\in\mathcal{L}(E)}

défini par :

{\forall\,i\in\{1,\ldots,n\},\;f(e_{i}) = e_{i} + u}

Trouver les éléments propres de

{f}

{f}

est-il diagonalisable ? Quel est son déterminant ?

➡️

Égalité matricielle AB-BA=B

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{AB-BA=B\ (\star)}

Calculer

{\mathrm{tr}(B)}

. Montrer que

{B}

n’est pas inversible.
Montrer :

{\forall\,k\in \mathbb{N},\;AB^{k}-B^{k}A=kB^{k}}

.
En déduire que

{B}

est nilpotente (plusieurs méthodes)

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Endomorphisme de suites

(Oral CCinp)
Soit

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{C}^{\mathbb{N}})}

définie par

{f(u)=v}

où

{\begin{cases}v_{0}=u_{0}\\\forall\,n\in\mathbb{N},\,v_{n+1}=\dfrac{u_{n}+u_{n+1}}2\end{cases}}

Donner les éléments propres de

{f}

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Endomorphisme vérifiant u^3=u

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

{\mathbb{R}}

-ev de dimension finie.
Soit

{u\in{\mathcal L}(E)}

tel que

{u^{3}=u}

.
Montrer que

{u^{2}}

est un projecteur.
Que dire si

{\text{tr}(u)=\text{rg}(u)}

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Cayley-Hamilton et matrice compagnon

(Oral Centrale)
Dans cet exercice, on observe directement que la matrice-compagnon d’un polynôme P est annulée par P (c’est un cas particulier du théorème de Cayley-Hamilton).

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