Réduction
Exercices corrigés sur le thème « réduction des matrices et des endomorphismes » pour Spé Mp, Pc, Psi (posés à Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

QCM (réduction, partie 2)

Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 16 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Réduction ».

QCM (réduction, partie 1)

Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 17 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Réduction ».

Série génératrice d’une récurrence linéaire

(Oral Centrale) On étudie la série entière génératrice d’une récurrence linéaire d’ordre 3. Par plusieurs points de vue, on résout cette récurrence.

Une algèbre de matrices 3×3

(Oral Centrale) On considère un ensemble

{E}

de matrices carrées d’ordre 3, dépendant de deux paramètres. On montre que

{E}

est une sous-algèbre de

{\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}

. On étudie les puissances et la diagonalisabilité des éléments de

{E}

.

Spectre de sous-matrices principales

(Oral Centrale) Soit

{A}

une matrice symétrique réelle, et

{B}

une sous-matrice principale de

{A}

. On montre que si

{B}

est à spectre simple, alors il en est de même de

{A}

, et les valeurs propres de

{B}

séparent celles de

{A}

.

Espace de matrices toutes diagonalisables

(Oral Centrale) Dans cet exercice, on étudie la dimension maximale d’un sous-espace de

{\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}

formé de matrices toutes diagonalisables, et on voit quelques exemples.

Sous-algèbre sans nilpotents

(Oral Centrale) Soit

{\mathcal{A}}

une sous-algèbre commutative de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

), contenant In et sans nilpotent. Alors

{\dim(\mathcal{A})\le n}

et les éléments de

{\mathcal{A}}

sont diagonalisables.

Réduction de matrices par blocs

(Oral Centrale) Si

{M}

est une matrice carrée, on forme la matrice par blocs

{N=\begin{pmatrix}M&M^2\\0&M\end{pmatrix}}

. On étudie la diagonalisabilité de

{N}

, et son polynôme minimal.

Matrices magiques et valeurs propres

(Oral Centrale) Pour toute matrice

{A}

magique à coefficients strictement positifs, on montre que 1 est valeur propre dominante et que le sous-espace propre est une droite.

Puissances d’un endomorphisme de L(E)

(Oral Centrale) On s’intéresse aux puissances de l’endomorphisme de

{\mathcal{L}(E)}

défini par

{f(u)=(au+ua)/2}

, selon les propriétés de l’endomorphisme

{a}

de

{E}

.

Itérations de f(M)=(AM+MA)/2

(Oral Centrale) On se donne une matrice

{A}

carrée d’ordre 3. On étudie les itérations de l’endomorphisme de

{\mathcal{M}_3(\mathbb{K})}

défini par

{f(M)=(AM+MA)/2}

.

Itération matricielle et approximation

(Oral Centrale) Soit une matrice carrée

{A}

d’ordre

{n}

, dépendant d’un paramètre

{m}

. On l’inverse, on la diagonalise, et on approche un vecteur propre de

{A}

pour la valeur propre de plus grand module.

L’application matricielle M -> AM+MA

(Oral Centrale) On étudie l’application matricielle définie sur

{\mathcal{M}_{n}(\K)}

par

{\varphi(M)=AM+MA}

, où

{A}

est une matrice à polynôme caractéristique scindé.

L’équation matricielle AX-XB=Y

(Oral Centrale) On s’intéresse à l’équation matricielle

{AX-XB=Y}

, où

{A}

et

{B}

sont deux matrices à spectres disjoints. Dans un cas particulier, on exprime la solution

{X}

sous forme de série matricielle.

Une matrice de Vandermonde

(Oral Centrale) On considère la matrice de Vandermonde

{V}

, carrée d’ordre

{n}

, dont le terme général est

{W_n=\omega^{(k-1)(\ell-1)}}

, avec

{\omega=\exp(2i\pi/n)}

. On calcule

{\det(V)}

et on diagonalise

{V^2}

.

Sous-espace de matrices qui commutent

(Oral Centrale) On détermine la dimension maximale d’un sous-espace de

{\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})}

formé de matrices qui commutent deux à deux.

Une preuve de Cayley-Hamilton

(Oral Centrale) On établit ici le théorème de Cayley-Hamilton par une méthode à base de calcul intégral et de série entière matricielle.

Spectre de matrices symétriques

(Oral Centrale) On étudie la fonction qui au réel

{t}

associe la valeur propre maximum de

{u+tv,}

, où

{u}

et

{v}

sont deux endomorphismes symétriques de

{E}

euclidien.

Somme des distances à une droite

(Oral Centrale) Dans cet exercice, on voit comment déterminer la droite qui minimise la somme des carrés des distances à une famille donnée de

{p}

points.

Autour du produit de Kronecker

Oral Centrale) On rappelle la définition du produit de Kronecker

{A\otimes B}

de deux matrices, et on étudie l’existence d’une solution

{M}

à l’équation

{AM = q MA}

.

Sous-espaces de matrices nilpotentes

(Oral Centrale) On s’intéresse ici à des sous-espaces de matrices carrées d’ordre

{n}

toutes nilpotentes, et à la dimension maximale d’un tel sous-espace.

Matrices semblables par blocs

(Oral Centrale). Dans cet exercice, on étudie des conditions équivalentes pour que les matrices par blocs

{((A,0),(0,0)) }

et

{((A,B),(0,0))}

soient semblables.

Matrices semblables de rang 1 ou 2

(Oral Centrale) On s’intéresse à deux endomorphismes

{u,v}

de

{E}

, de même rang 1 ou 2. On étudie des conditions suffisantes pour que

{u,v}

soient semblables.

Matrices semblables à leur inverse

(Oral Centrale) On étudie des conditions pour que des matrices inversibles, de taille 2 ou 3, soient semblables à leur inverse.

Algorithme de Babylone matriciel

Oral Centrale) À partir d’une matrice carrée, on étudie la suite des itérées par la transformation

{A\to(A+A^{-1})/2}

(généralisation matricielle de l’algorithme de Babylone)

Suite récurrente et arithmétique

(Oral Centrale). On relie une suite récurrente d’ordre 5 à la trace des puissances d’une matrice. On en déduit une propriété arithmétique de cette suite.

Diagonalisation d’une matrice en Z

(Oral Centrale)
Soit

{Z_n\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, définie par :

{\begin{cases}z_{ij}=1\text{\ si\ }(i\!=\!1\;\text{ou}\;i\!=\!n\;\text{ou}\;i\!+\!j=n\!+\!1)\\0\text{\ sinon}\end{cases}}

Prouver que

{Z_n}

est diagonalisable dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

Procéder à la diagonalisation efffective de

{Z_n}

.
Donner l’exemple de

{n=5}

et

{n=6}

.

Nilpotent plus diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension finie.
Soit

{n}

un endomorphisme nilpotent de

{E}

.
Soit

{v\in\text{GL}(E)}

tel que

{vn=nv}

.
Montrer que

{\det(v+n)=\det(v)}

.
Soit

{d}

diagonalisable tel que

{dn=nd}

.
Montrer que

{\det(d+n)=\det(d)}

.

Polynôme annulateur et trace

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que :

{A^{4}+A^{3}+A^{2}+A+I_{n}=0}

On suppose

{\text{tr}(A)\in\mathbb{Q}}

. Montrer que

{4\mid n}

.

Sous-espaces stables, commutant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=\begin{pmatrix}{1} & {j} & {j^{2}} \\ {j} & {j^{2}} & {1} \\ {j^{2}} & {1} & {j}\end{pmatrix}}

, où

{j=\text{e}^{2i\pi/3}}

.
La matrice

{A}

est-il diagonalisable ?
Déterminer les sous-espaces stables par

{A}

.
Déterminer la dimension de :

{\mathcal{C}_A=\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}