Réduction de matrices par blocs

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {n \ge 2} un entier et soit {M} dans {{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}.

On définit la matrice par blocs :
{N = \varphi(M)=\begin{pmatrix} M& M^2 \\ 0_n & M \end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{2n}(\mathbb{C})}

Question 1
Si {m\in\mathbb{C}} et {\varphi(m)=\begin{pmatrix} m & m^2 \\ 0 & m \end{pmatrix}}.
La matrice {\varphi(m)} est-elle diagonalisable ?
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Question 2
Dans cette question, on suppose {n=2}.
Soit {M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} et soit {P\in\text{GL}_{2}(\mathbb{C})} telle que {P^{-1}MP} soit diagonale (si {M} est diagonalisable) ou triangulaire supérieure (sinon). En utilisant la matrice {P}, montrer que {N=\varphi(M)} est diagonalisable si et seulement si {M=0}.
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On va maintenant généraliser ce qui précède. Soit {M} dans {{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}, et {N=\varphi(M)}.

Question 3.a
Pour {Q\in \mathbb{C}[X]}, déterminer {Q(N)}.
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Question 3.b
Montrer que si {N} est diagonalisable, alors {M} est diagonalisable.
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Question 3.c
Montrer que si {N} est diagonalisable, alors {M^2=0_n}, et conclure.
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Question 4
Soit {M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}.
Exprimer le polynôme minimal de {N=\varphi(M)} en fonction de celui de {M}.
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