Exercice (oral Centrale/Supélec)
Soit {n \ge 2} un entier et soit {M} dans {{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}.
On définit la matrice par blocs :
{N = \varphi(M)=\begin{pmatrix} M& M^2 \\ 0_n & M \end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{2n}(\mathbb{C})}
| Question 1 Si {m\in\mathbb{C}} et {\varphi(m)=\begin{pmatrix} m & m^2 \\ 0 & m \end{pmatrix}}. La matrice {\varphi(m)} est-elle diagonalisable ? |
| Question 2 Dans cette question, on suppose {n=2}. Soit {M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} et soit {P\in\text{GL}_{2}(\mathbb{C})} telle que {P^{-1}MP} soit diagonale (si {M} est diagonalisable) ou triangulaire supérieure (sinon). En utilisant la matrice {P}, montrer que {N=\varphi(M)} est diagonalisable si et seulement si {M=0}. |
On va maintenant généraliser ce qui précède. Soit {M} dans {{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}, et {N=\varphi(M)}.
| Question 3.a Pour {Q\in \mathbb{C}[X]}, déterminer {Q(N)}. |
| Question 3.b Montrer que si {N} est diagonalisable, alors {M} est diagonalisable. |
| Question 3.c Montrer que si {N} est diagonalisable, alors {M^2=0_n}, et conclure. |
| Question 4 Soit {M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}. Exprimer le polynôme minimal de {N=\varphi(M)} en fonction de celui de {M}. |