Trace et diagonalisation
(Oral Ccp)
Préciser les éléments propres de {\Phi :M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})\mapsto \text{tr} (M)I_n +M}.
Préciser les éléments propres de {\Phi :M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})\mapsto \text{tr} (M)I_n +M}.
Réduction
A nilpotente réelle commutant avec AT
(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Déterminer {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} nilpotente et telle que {A^{\top}A=A\,A^{\top}}.
Déterminer {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} nilpotente et telle que {A^{\top}A=A\,A^{\top}}.
Un exercice très improbable
(Oral XCachan Psi)
Soit {X_1,X_2,Y} trois v.a.r. indépendantes.
On suppose {\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}, et {\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}
On pose {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.
Probabilité que {M} soit diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})?
Soit {X_1,X_2,Y} trois v.a.r. indépendantes.
On suppose {\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}, et {\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}
On pose {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.
Probabilité que {M} soit diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})?
Une condition d’inversibilité
(Oral Mines-Ponts)
On suppose \dim(E)=n. Soit {f\in \text{GL}(E)}, et {g\in \mathcal{L}(E)} avec {\text{rg}(g)=1}.
Montrer que {f+g\in\text{GL}(E)\Leftrightarrow \text{Tr}(g f^{-1})\neq -1}.
On suppose \dim(E)=n. Soit {f\in \text{GL}(E)}, et {g\in \mathcal{L}(E)} avec {\text{rg}(g)=1}.
Montrer que {f+g\in\text{GL}(E)\Leftrightarrow \text{Tr}(g f^{-1})\neq -1}.
A4=A2 et diagonalisabilité
(Oral XCachan Psi)
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. On suppose que {-1,1} sont valeurs propres de {A}, et que {A^{4}=A^{2}}.
Si n=3, montrer que {A} est diagonalisable. Et si {n\ge4}?
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. On suppose que {-1,1} sont valeurs propres de {A}, et que {A^{4}=A^{2}}.
Si n=3, montrer que {A} est diagonalisable. Et si {n\ge4}?
Racines carrées matricielles
(Oral Ccp)
Déterminer le nombre de matrices B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{C}) telles que {B^2=}{\begin{pmatrix}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5 \end{pmatrix}}.
Déterminer le nombre de matrices B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{C}) telles que {B^2=}{\begin{pmatrix}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5 \end{pmatrix}}.
Valeur propre commune
(Oral Tpe, Ensam, Mines-Ponts et Centrale)
Montrer que deux matrices {A,B} de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe {U\ne0} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} telle que {AU = UB}.
Montrer que deux matrices {A,B} de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe {U\ne0} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} telle que {AU = UB}.
Racines carrées d’une matrice
(Oral Ccem)
Déterminer les matrices {A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})} telles que {A^{2}=B=}{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\1&2&3\end{pmatrix}}
Déterminer les matrices {A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})} telles que {A^{2}=B=}{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\1&2&3\end{pmatrix}}
Condition de diagonalisabilité
(Oral Ccp)
Soient f,u,v dans {{\mathcal L}(E)} tels que {f^k=a^ku+b^kv} avec a,b non nuls, et 0\le k\le 2.
Montrer que {f} est diagonalisable.
Soient f,u,v dans {{\mathcal L}(E)} tels que {f^k=a^ku+b^kv} avec a,b non nuls, et 0\le k\le 2.
Montrer que {f} est diagonalisable.
Diagonalisabilité de A^2
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} une matrice telle que {A^{2}} soit diagonalisable.
Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^{2})}.
Étudier le cas où la matrice A est antisymétrique réelle.
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} une matrice telle que {A^{2}} soit diagonalisable.
Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^{2})}.
Étudier le cas où la matrice A est antisymétrique réelle.
Une condition de diagonalisabilité
(Oral Mines-Ponts)
Soient {M,A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}. Soient {\lambda,\mu} dans {\mathbb{C}}, distincts et non nuls.
On suppose que {I_{n}= A + B}, {M = \lambda A + \mu B}, et {M^{2} = \lambda^{2} A + \mu^{2} B}.
Montrer que {A,B} sont des projecteurs et que M est diagonalisable.
Soient {M,A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}. Soient {\lambda,\mu} dans {\mathbb{C}}, distincts et non nuls.
On suppose que {I_{n}= A + B}, {M = \lambda A + \mu B}, et {M^{2} = \lambda^{2} A + \mu^{2} B}.
Montrer que {A,B} sont des projecteurs et que M est diagonalisable.
Réduction de M -> AMB
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A,B} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}))} définie par {\varphi(M)=AMB}.
Montrer que si A,B sont diagonalisables, \varphi est diagonalisable (deux méthodes)
Soit {A,B} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}))} définie par {\varphi(M)=AMB}.
Montrer que si A,B sont diagonalisables, \varphi est diagonalisable (deux méthodes)
Déterminant puis valeurs propres
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} définie par {a_{i,j} = 1} si {|i- j| = 1}, et {a_{i,j}=0} sinon.
Calculer {\Delta_{n}(\theta)=\det(2\cos(\theta)I_{n}-A_{n})}. En déduire {\text{Sp}(A_{n})}.
Soit {A_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} définie par {a_{i,j} = 1} si {|i- j| = 1}, et {a_{i,j}=0} sinon.
Calculer {\Delta_{n}(\theta)=\det(2\cos(\theta)I_{n}-A_{n})}. En déduire {\text{Sp}(A_{n})}.
Diagonalisation et déterminant
(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Soit {M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {m_{i,i} = a} pour {i\in[[1,n]]} et {m_{i,j} = b} si {i\ne j}.
La matrice {M} est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres. Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer {\det(M)}.
Soit {M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {m_{i,i} = a} pour {i\in[[1,n]]} et {m_{i,j} = b} si {i\ne j}.
La matrice {M} est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres. Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer {\det(M)}.
Rayon de convergence de ∑ tr(Ak)zk
(Oral Mines-Ponts et Telecom Sud Paris)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}. Donner le rayon de {\displaystyle\sum\text{tr}(A^{k})z^{k}}
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}. Donner le rayon de {\displaystyle\sum\text{tr}(A^{k})z^{k}}
Réduction d’une matrice en damier
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A = (a_{i,j})\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})} telle que {a_{i,j} = 1} si {i+ j} est pair, {a_{i,j} = 2} sinon.
Diagonaliser A. Résoudre {X^{2} + 2X = A} dans {{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})}.
Soit {A = (a_{i,j})\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})} telle que {a_{i,j} = 1} si {i+ j} est pair, {a_{i,j} = 2} sinon.
Diagonaliser A. Résoudre {X^{2} + 2X = A} dans {{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})}.
Sev stables par u diagonalisable
(Oral Mines-Ponts)
Soient {E} un \mathbb{K}-ev de dimension {n\ge1} et {u \in{\mathcal L}(E)} tel que {\text{card}(\text{Sp}(u)) = n}.
Dénombrer les sous-espaces de {E} qui sont stables par {u}.
Soient {E} un \mathbb{K}-ev de dimension {n\ge1} et {u \in{\mathcal L}(E)} tel que {\text{card}(\text{Sp}(u)) = n}.
Dénombrer les sous-espaces de {E} qui sont stables par {u}.
Réduction d’une matrice en L
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{R}^{n}} et {M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {m_{i,n} = m_{n,i} = a_{i}} pour tout {i}, et {m_{i,j}=0} sinon.
Montrer que {M} est diagonalisable puis diagonaliser {M}.
Soit {(a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{R}^{n}} et {M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {m_{i,n} = m_{n,i} = a_{i}} pour tout {i}, et {m_{i,j}=0} sinon.
Montrer que {M} est diagonalisable puis diagonaliser {M}.
Diagonalisation et hyperplans stables
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}^n)}, avec {n\ge1}. Montrer que (a)\Leftrightarrow(b) :
(a) l’endomorphisme {f} est diagonalisable,
(b) il existe {n} hyperplans {H_{1},\cdots,H_{n}} stables par {f} tels que {H_{1}\cap\cdots\cap H_{n} = \{0\}}.
Soit {f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}^n)}, avec {n\ge1}. Montrer que (a)\Leftrightarrow(b) :
(a) l’endomorphisme {f} est diagonalisable,
(b) il existe {n} hyperplans {H_{1},\cdots,H_{n}} stables par {f} tels que {H_{1}\cap\cdots\cap H_{n} = \{0\}}.
Racines carrées d’une matrice
(Oral Mines-Ponts)
Trouver les {M\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{C})} tq {M^2=}{\begin{pmatrix}0& 1& 1& 1\\1& 0& 1& 1\\1& 1& 0& 1\\1& 1& 1& 0\end{pmatrix}}
Trouver les {M\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{C})} tq {M^2=}{\begin{pmatrix}0& 1& 1& 1\\1& 0& 1& 1\\1& 1& 0& 1\\1& 1& 1& 0\end{pmatrix}}