Probabilités
Exercices corrigés sur le thème « probabilités » pour Sup Mpsi Pcsi, et Spé Mp, Pc, Psi (posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

(Oral X-Ens)
Dans cet exercice, on écrit la fonction Zeta de Riemann comme un produit infini; on en déduit que la série des inverses des entiers premiers diverge.

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Somme de lois de Rademacher

(Mines-Ponts)
Soient

{X_{1},\ldots,X_{n}}

des v.a.r indépendantes de loi :

{P(X_{k}=1)=P(X_{k}=-1)=1/2}

Soit

{S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}}

.
Montrer que

{P\Big(\dfrac{S_{n}}{n}\geq \varepsilon\Big)\leq \exp\Big(-\dfrac{n\varepsilon ^{2}}{2}\Big).}

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Un nombre géométrique de lancers

(Oral Mines-Ponts)
On lance

{N}

fois une pièce, où

{N\leadsto\mathcal{G}(p)}

.
Soit

{X}

le nombre de faces obtenu.
Déterminer la loi de

{X}

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Probabilités et équation différentielle

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A,B}

deux v.a.r. suivant la loi

{\mathcal{G}(p)}

.
Déterminer la probabilité que les solutions de :

{(E_{\omega }): y''+(A-1)y^{\prime }+By=0}

tendent vers

{0}

{+\infty}

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Espérance d’un déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=(a_{i,j})_{1\leq i_{j}\leq n}}

, où les

{a_{i,j}}

sont des v.a.r. mutuellement indépendantes d’espérance finie.
Montrer :

{E(\det A)=\det ((E(a_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n})}

.
On suppose que les

{a_{i,j}}

suivent toutes la même loi. Soit

{x\in \mathbb{R}}

. Calculer

{E(\chi_{A}(x))}

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Pics dans des tirages sans remise

(Oral Mines-Ponts)
Dans une urne,

{n}

boules numérotées de 1 à

{n}

.
On effectue

{n}

tirages successifs sans remise.
Soit

{X_{k}}

le numéro de la boule tirée à l’étape

{k}

.
On dit qu’il y a un pic si

{X_{k}>\max(X_{1},...,X_{k-1})}

.
Donner l’espérance du nombre de pics.

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Stabilité de la loi binomiale

(Oral Centrale)
Soient

{Y,Z}

indépendantes à valeurs dans

{\mathbb{N}}

, et non constantes.
On suppose

{U=Y+Z\leadsto\mathcal{B}(n,p)}

.
Montrer que

{Y,Z}

suivent des lois binomiales.

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Racine de l’unité aléatoire

(Oral X-Ens)
On choisit au hasard une racine

{n}

-ème de l’unité

{Z}

.
Soient

{X=\text{Re}(Z)}

{Y=\text{Im}(Z)}

.
Calculer

{\mathrm{Cov}(X,Y)}

{X}

{Y}

sont elles indépendantes ?

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Couple de variables aléatoires

On se donne les lois de deux v.a.r.

{X}

{Y}

. On étudie le couple

{(U,V)}

où

{U=\sup(X,Y)}

{V=\inf(X,Y)}

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Lemmes de Borel-Cantelli

On démontre ici les deux lemmes de Borel-Cantelli.

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Formule de Bayes

Deux exercices sur le thème « formule de Bayes ».

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Boules et urnes

On considère trois urnes :

{U_{1}}

(deux boules blanches et trois rouges),

{U_{2}}

(deux boules vertes et quatre blanches),

{U_{3}}

(cinq boules noires et deux rouges).
On tire une boule

{U_{1}}

et on la met dans

{U_{2}}

. Idem de

{U_{2}}

vers

{U_{3}}

. Enfin on tire une boule dans

{U_{3}}

.
Quelle est la probabilité que les trois boules tirées soient de couleurs différentes ?

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Indépendance d’événements

On s’intéresse à l’indépendance d’événements liés au lancement de plusieurs dés.

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Mme Michu cherche son parapluie

Mme Michu cherche son parapluie qui se trouve (peut être!) dans l’un des 7 étages de son immeuble…

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