Médiane de moyennes
Borne exponentielle pour une médiane de moyennes indépendantes à variance finie.
Probas
Divisibilité des lois entières
Dire quand une loi entière est la somme de variables indépendantes de même loi.
Suite aléatoire sous-additive
Une suite positive définie par une fonction sous-additive de variables indépendantes.
Permutations à au moins 3 cycles
Probabilité d’obtenir au moins trois cycles pour une permutation aléatoire.
Probabilité d’extinction d’une population
Calculer la probabilité d’extinction d’un processus de branchement à quatre issues.
Décroissance d’une grande déviation
Majoration exponentielle d’une proba de grande déviation pour une somme de v.a.r.
Nombres de Bell et formule de Dobinski
Démontrer la formule de Dobinski.
Parties aléatoires de [1,d]
Probabilités d’inclusion données par des déterminants principaux.
Itération d’une application aléatoire
Itérer une application aléatoire telle que {f(k)\!\leq\! k}
Segments croisés d’une permutation
Relier les croisements de segments aux inversions d’une permutation.
Marche aléatoire simple non bornée
Si une marche avance ou recule d’une unité à chaque étape, elle n’est pas bornée.
Sous-suite d’une permutation aléatoire
Estimer la probabilité qu’une permutation contienne une longue sous-suite croissante.
Inégalité de Cantelli et temps d’attente
Affiner l’inégalité de Bienaymé–Tchebychev pour une seule queue de distribution.
Aire d’un carré entier aléatoire
Loi de l’aire d’un carré aléatoire à sommets entiers dans une grille.
Le centre d’appels téléphoniques
(Oral Mines-Ponts et Centrale)
Un centre d’appel doit contacter {n} clients.
Chacun décroche avec une probabilité {p\in ]0,1[}.
Dans une 1ère vague d’appels, {X_{1}} clients décrochent.
Soit {X_{2}} le nombre de clients qui ne décrochent qu’à la deuxième vague, etc.
{X_{1},X_{2}} sont-elles indépendantes ? Quelle est la loi de {X_k}?
Quelle est la loi du numéro {Y_{i}} de la vague d’appels à laquelle le i-ème client décroche enfin?
Un centre d’appel doit contacter {n} clients.
Chacun décroche avec une probabilité {p\in ]0,1[}.
Dans une 1ère vague d’appels, {X_{1}} clients décrochent.
Soit {X_{2}} le nombre de clients qui ne décrochent qu’à la deuxième vague, etc.
{X_{1},X_{2}} sont-elles indépendantes ? Quelle est la loi de {X_k}?
Quelle est la loi du numéro {Y_{i}} de la vague d’appels à laquelle le i-ème client décroche enfin?
Probabilités et diagonalisation
(Oral Mines-Ponts)
Soit {X,Y} deux v.a.r. à valeurs dans {[[1,n+1]]}, avec :{\mathbb{P}(X=i,Y=j)=\dfrac{1}{4^{n}}\dbinom{n}{i-1}\dbinom{n}{j-1}}Loi de {X}? {X,Y} sont elles indépendantes ?
Diagonaliser la matrice {M\in\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})} de coefficients {m_{ij}=\mathbb{P}(X=i,Y=j)}.
Soit {X,Y} deux v.a.r. à valeurs dans {[[1,n+1]]}, avec :{\mathbb{P}(X=i,Y=j)=\dfrac{1}{4^{n}}\dbinom{n}{i-1}\dbinom{n}{j-1}}Loi de {X}? {X,Y} sont elles indépendantes ?
Diagonaliser la matrice {M\in\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})} de coefficients {m_{ij}=\mathbb{P}(X=i,Y=j)}.
Rétablir l’honnêteté d’une pièce
(Oral Mines-Ponts)
On souhaite corriger le défaut d’une pièce qui renvoie Pile avec la probabilité {p\in\,]0,1[} et {p\ne\dfrac{1}{2}}.
On effectue une succession de deux lancers jusqu’à ce qu’ils soient différents. Quelle est la probabilité que le tout dernier résultat soit Pile?
On souhaite corriger le défaut d’une pièce qui renvoie Pile avec la probabilité {p\in\,]0,1[} et {p\ne\dfrac{1}{2}}.
On effectue une succession de deux lancers jusqu’à ce qu’ils soient différents. Quelle est la probabilité que le tout dernier résultat soit Pile?
Inégalités et espérance
(Oral Mines-Ponts)
Soit {Z>0} une v.a.r ayant une variance.
Soit {a \in\,]0,1[}. Montrer que : {\mathbb{P}(Z\geq a\mathrm{E}(Z))\geq (1-a)^{2}\dfrac{\mathrm{E}(Z)^{2}}{\mathrm{E}(Z^{2})}}
Soit {Z>0} une v.a.r ayant une variance.
Soit {a \in\,]0,1[}. Montrer que : {\mathbb{P}(Z\geq a\mathrm{E}(Z))\geq (1-a)^{2}\dfrac{\mathrm{E}(Z)^{2}}{\mathrm{E}(Z^{2})}}
Tchebychev le bien aimé
(Oral Mines-Ponts)
Soit {X} une variable aléatoire de loi {\mathcal{P}(\lambda)}.
Montrer que {\mathbb{P}(X\geq \lambda + 1) \leq \lambda}.
Montrer que {\mathbb{P}\left(X\leqslant \dfrac{\lambda}{3}\right) \leq \dfrac{9}{4\lambda}}
Soit {X} une variable aléatoire de loi {\mathcal{P}(\lambda)}.
Montrer que {\mathbb{P}(X\geq \lambda + 1) \leq \lambda}.
Montrer que {\mathbb{P}\left(X\leqslant \dfrac{\lambda}{3}\right) \leq \dfrac{9}{4\lambda}}
Fonctions de variables de même loi
(Oral Mines-Ponts)
Soient {X_{1},X_{2}} deux v.a.r à valeurs dans {\mathbb{R}^{+*}}, indépendantes et de même loi.
Soit {Y_{1}=\dfrac{X_{1}}{X_{1}+X_{2}}} et {Y_{2}=\dfrac{X_{2}}{X_{1}+X_{2}}}
Montrer que {Y_{1}} a une espérance et une variance.
Calculer {E\left(Y_{1}\right)} et montrer que {\text{cov}\left(Y_{1},Y_{2}\right) =-V\left(Y_{1}\right)}.
Soient {X_{1},X_{2}} deux v.a.r à valeurs dans {\mathbb{R}^{+*}}, indépendantes et de même loi.
Soit {Y_{1}=\dfrac{X_{1}}{X_{1}+X_{2}}} et {Y_{2}=\dfrac{X_{2}}{X_{1}+X_{2}}}
Montrer que {Y_{1}} a une espérance et une variance.
Calculer {E\left(Y_{1}\right)} et montrer que {\text{cov}\left(Y_{1},Y_{2}\right) =-V\left(Y_{1}\right)}.
Série des inverses des entiers premiers
(Oral X-Ens)
Dans cet exercice, on écrit la fonction Zeta de Riemann comme un produit infini; on en déduit que la série des inverses des entiers premiers diverge.
Dans cet exercice, on écrit la fonction Zeta de Riemann comme un produit infini; on en déduit que la série des inverses des entiers premiers diverge.
Somme de lois de Rademacher
(Mines-Ponts)
Soient {X_{1},\ldots,X_{n}} des v.a.r indépendantes de loi : {P(X_{k}=1)=P(X_{k}=-1)=1/2}Soit {S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}}.
Montrer que {P\Big(\dfrac{S_{n}}{n}\geq \varepsilon\Big)\leq \exp\Big(-\dfrac{n\varepsilon ^{2}}{2}\Big).}
Soient {X_{1},\ldots,X_{n}} des v.a.r indépendantes de loi : {P(X_{k}=1)=P(X_{k}=-1)=1/2}Soit {S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}}.
Montrer que {P\Big(\dfrac{S_{n}}{n}\geq \varepsilon\Big)\leq \exp\Big(-\dfrac{n\varepsilon ^{2}}{2}\Big).}
Un nombre géométrique de lancers
(Oral Mines-Ponts)
On lance {N} fois une pièce, où {N\leadsto\mathcal{G}(p)}.
Soit {X} le nombre de faces obtenu.
Déterminer la loi de {X}.
On lance {N} fois une pièce, où {N\leadsto\mathcal{G}(p)}.
Soit {X} le nombre de faces obtenu.
Déterminer la loi de {X}.
Probabilités et équation différentielle
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A,B} deux v.a.r. suivant la loi {\mathcal{G}(p)}.
Déterminer la probabilité que les solutions de : {(E_{\omega }): y''+(A-1)y^{\prime }+By=0} tendent vers {0} en {+\infty}.
Soit {A,B} deux v.a.r. suivant la loi {\mathcal{G}(p)}.
Déterminer la probabilité que les solutions de : {(E_{\omega }): y''+(A-1)y^{\prime }+By=0} tendent vers {0} en {+\infty}.
Espérance d’un déterminant
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=(a_{i,j})_{1\leq i_{j}\leq n}}, où les {a_{i,j}} sont des v.a.r. mutuellement indépendantes d’espérance finie.
Montrer : {E(\det A)=\det ((E(a_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n})}.
On suppose que les {a_{i,j}} suivent toutes la même loi. Soit {x\in \mathbb{R}}. Calculer {E(\chi_{A}(x))}.
Soit {A=(a_{i,j})_{1\leq i_{j}\leq n}}, où les {a_{i,j}} sont des v.a.r. mutuellement indépendantes d’espérance finie.
Montrer : {E(\det A)=\det ((E(a_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n})}.
On suppose que les {a_{i,j}} suivent toutes la même loi. Soit {x\in \mathbb{R}}. Calculer {E(\chi_{A}(x))}.
Pics dans des tirages sans remise
(Oral Mines-Ponts)
Dans une urne, {n} boules numérotées de 1 à {n}.
On effectue {n} tirages successifs sans remise.
Soit {X_{k}} le numéro de la boule tirée à l’étape {k}.
On dit qu’il y a un pic si {X_{k}>\max(X_{1},...,X_{k-1})}.
Donner l’espérance du nombre de pics.
Dans une urne, {n} boules numérotées de 1 à {n}.
On effectue {n} tirages successifs sans remise.
Soit {X_{k}} le numéro de la boule tirée à l’étape {k}.
On dit qu’il y a un pic si {X_{k}>\max(X_{1},...,X_{k-1})}.
Donner l’espérance du nombre de pics.
Stabilité de la loi binomiale
(Oral Centrale)
Soient {Y,Z} indépendantes à valeurs dans {\mathbb{N}}, et non constantes.
On suppose {U=Y+Z\leadsto\mathcal{B}(n,p)}.
Montrer que {Y,Z} suivent des lois binomiales.
Soient {Y,Z} indépendantes à valeurs dans {\mathbb{N}}, et non constantes.
On suppose {U=Y+Z\leadsto\mathcal{B}(n,p)}.
Montrer que {Y,Z} suivent des lois binomiales.
Racine de l’unité aléatoire
(Oral X-Ens)
On choisit au hasard une racine {n}-ème de l’unité {Z}.
Soient {X=\text{Re}(Z)} et {Y=\text{Im}(Z)}.
Calculer {\mathrm{Cov}(X,Y)}.
{X} et {Y} sont elles indépendantes ?
On choisit au hasard une racine {n}-ème de l’unité {Z}.
Soient {X=\text{Re}(Z)} et {Y=\text{Im}(Z)}.
Calculer {\mathrm{Cov}(X,Y)}.
{X} et {Y} sont elles indépendantes ?
Couple de variables aléatoires
On se donne les lois de deux v.a.r. {X} et {Y}. On étudie le couple {(U,V)} où {U=\sup(X,Y)} et {V=\inf(X,Y)}.
Lemmes de Borel-Cantelli
On démontre ici les deux lemmes de Borel-Cantelli.
Formule de Bayes
Deux exercices sur le thème « formule de Bayes ».
Boules et urnes
On considère trois urnes : {U_{1}} (deux boules blanches et trois rouges), {U_{2}} (deux boules vertes et quatre blanches), {U_{3}} (cinq boules noires et deux rouges).
On tire une boule {U_{1}} et on la met dans {U_{2}}. Idem de {U_{2}} vers {U_{3}}. Enfin on tire une boule dans {U_{3}}.
Quelle est la probabilité que les trois boules tirées soient de couleurs différentes ?
On tire une boule {U_{1}} et on la met dans {U_{2}}. Idem de {U_{2}} vers {U_{3}}. Enfin on tire une boule dans {U_{3}}.
Quelle est la probabilité que les trois boules tirées soient de couleurs différentes ?
Indépendance d’événements
On s’intéresse à l’indépendance d’événements liés au lancement de plusieurs dés.
Mme Michu cherche son parapluie
Mme Michu cherche son parapluie qui se trouve (peut être!) dans l’un des 7 étages de son immeuble…
Événements presque sûrs ou négligeables
Exercices sur le thème « événements presque sûrs ou négligeables »
Quatre pions sur trois cases
On dispose au hasard quatre pions sur trois cases (assez grandes pour contenir tous les pions).
Quelle est la probabilité qu’une case au moins soit vide?
Quelle est la probabilité qu’une case au moins soit vide?
Formule du crible
Trois exercices sur le thème « formule du crible ».
Somme de probabilités
Soit {A,B,C} trois événements. Simplifier :{\mathbb{P}(A\cup B)\!+\!\mathbb{P}(\overline{A}\cup B)\!+\!\mathbb{P}(A\cup\overline{B})\!+\!\mathbb{P}(\overline{A}\cup\overline{B})\!=3\!}Ensuite on généralise ce résultat.
Unions dénombrables
Un exercice sur les unions ou intersections dénombrables d’ensembles
Ensembles non dénombrables
Trois exercices sur le thème « ensembles non dénombrables ».
Un jeton et quatre cases
(Oral Centrale 2018)
Un jeton se déplace aléatoirement sur quatre cases, selon un protocole particulier.
On demande une simulation de l’expérience avec Python.
On diagonalise la matrice de transition, pour étudier la probabilité que le jeton se trouve sur telle ou telle case à la date {n} quand {n\to+\infty}
Un jeton se déplace aléatoirement sur quatre cases, selon un protocole particulier.
On demande une simulation de l’expérience avec Python.
On diagonalise la matrice de transition, pour étudier la probabilité que le jeton se trouve sur telle ou telle case à la date {n} quand {n\to+\infty}
Deux suites de tirages monocolores
(Oral Mines-Ponts 2018)
Une urne contient une proportion {p\in\,]0,1[} de boules blanches et le reste de boules noires.
On effectue des tirages successifs avec remise.
On note {X_1,X_2} les longueurs des deux premières suites monocolores.
Donner la loi de {X_1}, son espérance, sa variance.
Donner la loi du couple {(X_1,X_2)}.
En déduire la loi de {X_2}, son espérance, sa variance.
Une urne contient une proportion {p\in\,]0,1[} de boules blanches et le reste de boules noires.
On effectue des tirages successifs avec remise.
On note {X_1,X_2} les longueurs des deux premières suites monocolores.
Donner la loi de {X_1}, son espérance, sa variance.
Donner la loi du couple {(X_1,X_2)}.
En déduire la loi de {X_2}, son espérance, sa variance.
Promenade aléatoire sur ℤ
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(X_{n})_{n\geq 1}} des v.a.r. indépendantes telles que :
{X_n(\Omega)\!=\!\{-1,1\}\;\text{et}\;\mathbb{P}(X_{i}\!=\!1)\!=\!\mathbb{P}(X_{i}\!=\!-1)\!=\!\dfrac{1}{2}}Montrer que {S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}} prend presque sûrement une infinité de fois la valeur {k}.
Soit {(X_{n})_{n\geq 1}} des v.a.r. indépendantes telles que :
{X_n(\Omega)\!=\!\{-1,1\}\;\text{et}\;\mathbb{P}(X_{i}\!=\!1)\!=\!\mathbb{P}(X_{i}\!=\!-1)\!=\!\dfrac{1}{2}}Montrer que {S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}} prend presque sûrement une infinité de fois la valeur {k}.
Le plus petit numéro tiré
(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans une urne de {N} boules numérotées de {1} à {N}, on réalise {n} tirages avec remise. On note {X_{N}} le plus petit numéro tiré. Calculer {E(X_{N})} puis un équivalent de {V(X_N)} quand {N\to+\infty}.
Dans une urne de {N} boules numérotées de {1} à {N}, on réalise {n} tirages avec remise. On note {X_{N}} le plus petit numéro tiré. Calculer {E(X_{N})} puis un équivalent de {V(X_N)} quand {N\to+\infty}.
Probabilité et Cauchy-Schwarz
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {X} une v.a.r positive de variance non nulle.
Montrer que, pour tout {\lambda \in\,]0,1[} : {\mathbb{P}(X\geq \lambda E(X))\geq (1-\lambda )^{2}\dfrac{E(X)^{2}}{E(X^{2})}}
Soit {X} une v.a.r positive de variance non nulle.
Montrer que, pour tout {\lambda \in\,]0,1[} : {\mathbb{P}(X\geq \lambda E(X))\geq (1-\lambda )^{2}\dfrac{E(X)^{2}}{E(X^{2})}}
Probabilité d’être un projecteur
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(X_{1},\ldots,X_{n})} des v.a.r. indépendantes, de loi {\mathcal{B}(p)}.
Donner la loi du rang et de la trace de {M=(X_{i}X_{j})_{1\leq i,j\leq n}}.
Quelle est la probabilité que {M} représente un projecteur ?
Soit {(X_{1},\ldots,X_{n})} des v.a.r. indépendantes, de loi {\mathcal{B}(p)}.
Donner la loi du rang et de la trace de {M=(X_{i}X_{j})_{1\leq i,j\leq n}}.
Quelle est la probabilité que {M} représente un projecteur ?
Un événement négligeable
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(X_{n})_{n}} des v.a.r indépendantes de loi {\mathcal{B}(p)}.
Soit {A_{n}=(X_{n}=\ldots=X_{2n-1}=1)}.
Soit {I} l’événement « une infinité de {A_{n}} sont réalisés ».
Montrer que {\mathbb{P}(I)=0}.
Soit {(X_{n})_{n}} des v.a.r indépendantes de loi {\mathcal{B}(p)}.
Soit {A_{n}=(X_{n}=\ldots=X_{2n-1}=1)}.
Soit {I} l’événement « une infinité de {A_{n}} sont réalisés ».
Montrer que {\mathbb{P}(I)=0}.
Convergence en probabilité
(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans cet exercice, on étudie la notion de convergence en probabilité pour une suite de variables aléatories réelles.
Dans cet exercice, on étudie la notion de convergence en probabilité pour une suite de variables aléatories réelles.
Probabilité de diagonalisabilité
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {Y\!:\Omega\to\mathbb{Z}} avec {\begin{cases}\mathbb{P}(Y\!=\!k)\!=\!\mathbb{P}(Y\!=\!-k)\\|Y|\leadsto\mathcal{P}(\lambda)\end{cases}}.
Donner la loi du rang {R} de {A=\begin{pmatrix}0 & Y & 1 \\ Y & 0 & 1 \\ Y & 1 & 0\end{pmatrix}}
Probabilité que {A} soit diagonalisable?
Soit {Y\!:\Omega\to\mathbb{Z}} avec {\begin{cases}\mathbb{P}(Y\!=\!k)\!=\!\mathbb{P}(Y\!=\!-k)\\|Y|\leadsto\mathcal{P}(\lambda)\end{cases}}.
Donner la loi du rang {R} de {A=\begin{pmatrix}0 & Y & 1 \\ Y & 0 & 1 \\ Y & 1 & 0\end{pmatrix}}
Probabilité que {A} soit diagonalisable?
Différence de lois binomiales
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {X,Y} deux v.a.r. indépendantes suivant {\mathcal{B}(n,\frac{1}{2})}.
Donner la loi, l’espérance et la variance de {Z\!=\!X\!-\!Y}.
Calculer {\text{Cov}(X,Z)} et leur coefficient de corrélation.
Soit {X,Y} deux v.a.r. indépendantes suivant {\mathcal{B}(n,\frac{1}{2})}.
Donner la loi, l’espérance et la variance de {Z\!=\!X\!-\!Y}.
Calculer {\text{Cov}(X,Z)} et leur coefficient de corrélation.