Racine de l’unité aléatoire

(Oral X-Ens)
Soit {n\ge2} un entier.
On choisit au hasard une racine {n}-ème de l’unité {Z}.
On note {\,\theta=\arg(Z)\in[0,2\pi[}.
Soient {X=\text{Re}(Z)} et {Y=\text{Im}(Z)}.

  1. Calculer {E(\,\theta )}, {E(X)} et {E(Y)}.
  2. Calculer {\mathrm{Cov}(X,Y)}.
  3. {X} et {Y} sont elles indépendantes ?

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