XEns Psi/Pc

Exercices corrigés donnés au concours « X-Ens » (Psi ou Pc)

La formule de Simon Plouffe

(Oral XEns)
On va prouver que {\pi=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}} où :{u_{k}\!=\!\dfrac{1}{16^{k}}\Bigl(\dfrac{4}{8k+1}\!-\!\dfrac{2}{8k+4}\!-\!\dfrac{1}{8k+5}\!-\!\dfrac{1}{8k+6}\Bigr)}

  1. Soit {a\in]0, 1[}. Montrer que pour {n,p\in\mathbb{N}^*} : {\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{x^{n-1}}{1-x^{p}}\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{a^{kp+n}}{kp+n}}
  2. En déduire que :
    {\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}=16\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^5+t^4+2t^3-4}{t^8-16}\,\text{d}t}Simplifier {R(X)=\dfrac{X^5+X^4+2X^3-4}{X^{8}-16}}.
    Conclure.

Sommes partielles et équivalents

(Oral XEns)
On suppose {S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}\sim\dfrac{1}{a_{n}}} (avec les {a_n\gt 0})
Montrer que {\displaystyle\sum a_n} diverge et {\displaystyle\lim_{+\infty}a_n=0}.
Montrer {\begin{cases}S_{n+1}\sim S_{n}\\\displaystyle\lim_{+\infty}(S_{n+1}^{2}-S_{n}^{2})=2\end{cases}} puis {a_{n}\sim \dfrac{1}{\sqrt{2n}}}.
Réciproque : montrer que {b_n\sim\dfrac{1}{\sqrt{2n}}\Rightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{n}b_{k}\sim\dfrac{1}{b_{n}}}.

Équation différentielle de Legendre

(Oral X-Cachan Psi)
On note {U_{n}=(X^{2}-1)^{n}} et {P_{n}=U_n^{(n)}}.
1. Montrer que {P_{n}} vérifie {(E):(1\!-\!x^{2})y''\!-\!2xy'\!+\!n(n\!+\!1) y\!=\!0}.
2. Donner les solutions {\mathcal{C}^{2}} de {(E)} sur {[-1,1]}.
3. Montrer que les P_n sont orthogonaux pour {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.

Un exercice très improbable

(Oral XCachan Psi)
Soit {X_1,X_2,Y} trois v.a.r. indépendantes.
On suppose {\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}, et {\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}
On pose {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.
Probabilité que {M} soit diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})?

Valeurs d’adhérence

(Oral X-Cachan Psi)
On définit l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite complexe bornée (u). On montre qu’il fermé non vide, et se réduit à un singleton si et seulement si (u) converge. On étudie enfin le cas des suites définies par une récurrence du type u_{n+1}=f(u_n).

Chebyshev et produit scalaire

(Oral X-Cachan Psi)
On munit {{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})} du produit scalaire {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}On définit les {U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}.
On montre que sont des polynômes deux à deux orthogonaux. On approxime enfin {f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}} par un polynôme de degré {\le 2}.

Conservation du volume

Dans {E} euclidien de dimension {n}, soit {d\in\{1,\ldots,n\}}.
Si {x\in E^d} est liée, on pose {m(x) =0}.
Sinon, soit {\mathcal{B}} une base orthonormale de {\text{Vect}(x)}.
On pose alors {m(x) =\left|\det_{\mathcal{B}}(x)\right|}.
Soit {X_{d}} l’ensemble des endomorphismes de E tels que :
{\forall x\in E^{d},\; m(f(x_{1}),\ldots,f(x_{d})) = m(x)}L’objectif de l’exercice est de prouver que {X_{d}=O(E)}

Diagonalisation de M->AM+MB

(Oral X-Cachan Psi)
Soient {A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, diagonalisables dans \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}).
Soit \varphi_{A,B} l’endomorphisme de \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) défini \varphi_{A,B}(M)=AM+MB.
Dans cet exercice, on montre (de deux manières différentes) que l’endomorphisme \varphi_{A,B} est diagonalisable et on en donne une base de diagonalisation.

Équation fonctionnelle f(qz)-f(z)=g(z)

(Oral X-Cachan Psi)
Soit {\left\|x\right\|=d(x,\mathbb{Z}} (distance distance à {\mathbb{Z}}).
Soit {E} l’ensemble des {f\colon\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}} DSE de rayon +\infty.
Soient {g\in E} et {q\in\mathbb{C}}, et l’équation : {(\star)\;\forall\,z\in\mathbb{C},\;f(qz)-f(z)=g(z)}où {f} est cherchée dans {E}.
Selon q, on étudie l’existence d’un solution à (*).

Demi-dérivée d’une fonction continue

(Oral X-Cachan)
Si {f \in{\mathcal C}^{0}(\mathbb{R}^{+}}, soit {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)(x)\!=\!\displaystyle\dfrac{1}{\sqrt\pi}\!\!\int_{0}^{x}\!\!\dfrac{f(t)\,\text{d}t}{\sqrt{x-t}}}.
La dérivée de {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)}, notée {\mathcal{D}_{1\text{/}2}(f)} est appelée demi-dérivée de {f}. On étudie cette demi-dérivée pour certaines classes de fonctions f.

Endomorphisme et polynômes

(Oral X-Cachan Psi)
Soient {A,B} dans {\mathbb{C}[X]}, avec {A\ne0}, avec {\deg(B)= n+ 1}. En fonction des racines de A, ou B, on étudie l’injectivité ou la diagonalisabilité de l’endomorphisme {\varphi} de {\mathbb{C}_{n}[X]} qui à P associe le reste dans la division de {AP} par {B}.

Polygônes réguliers

((Oral X-Cachan)
Soit \omega=\text{e}^{2i\pi/n} et {W_{n}= (\omega^{r(s-1)})} dans {{\mathcal{M}}_{n-2,n}(\mathbb{C})}.
1. Déterminer le rang de {W_{n}}.
2. Donner une base de {\text{Ker}(W_{n})}.
3. Caractériser les polygones réguliers à {n} sommets de sens direct.

Exp(A), avec A antisymétrique

(Oral X-Cachan Psi)
Soit {A =\begin{pmatrix}0&-c&b\\ c& 0& a\\-b&-a&0\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}.
1. Montrer : {\exists\theta\in\mathbb{R},\;A^{3}=-\theta A}.
2. Montrer : {\forall\, n\in\,\mathbb{N}^{*},\;A^{2n}=(-\theta)^{n-1}A^{2}}.
3. On pose {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}A^{k}}.
Montrer que {S_{\infty}= \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}} existe.
Calculer {(\alpha,\beta) \in\,\mathbb{R}^{2}} tel que {S_{\infty} = I_{3} + \alpha A + \beta A^{2}}.

Lancer de dés pipés

(Oral X-Cachan Psi)
Soit un dé pipé à six faces numérotées de 1 à 6.
On note {p_{k}} la probabilité d’obtenir {k}.
Soit {N_{n,k}} le nombre de {k} en {n} lancers.
Que dire de {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}N_{n,k}}?
Si {np_{k}\in\mathbb{N}}, probabilité que {N_{n,k}=np_{k}} ?