Série des inverses des entiers premiers

(Oral X-Ens)
Soit {\mathcal{P}} l’ensemble des nombres premiers.
On note, pour tout {s\gt 1}, {\zeta (s)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{s}}}.

On définit une probabilité sur {\mathbb{N}^*} par : {\forall\,n\ge1,\;\mathbb{P}(\{n\})=\dfrac{1}{\zeta(s)}\,\dfrac{1}{n^s}}

  1. Pour {q\in\mathbb{N}^*}, soit {A_{q}=q\mathbb{N}^*}.

    Montrer que les événements {\left(A_{p}\right)_{p\in\mathcal{P}}} sont mutuellement indépendants.

  2. On note {\mathcal{P}=\{p_{n},n\ge1\}} (suite croissante).

    Montrer que : {\dfrac{1}{\zeta (s)}=\displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty} \left(1-\dfrac{1}{p_n^s}\right)}.

  3. Déterminer la nature de la série {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{1}{p_{n}}}.

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