(Oral X-Ens)
Soit {\mathcal{P}} l’ensemble des nombres premiers.
On note, pour tout {s\gt 1}, {\zeta (s)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{s}}}.
On définit une probabilité sur {\mathbb{N}^*} par : {\forall\,n\ge1,\;\mathbb{P}(\{n\})=\dfrac{1}{\zeta(s)}\,\dfrac{1}{n^s}}
-
Pour {q\in\mathbb{N}^*}, soit {A_{q}=q\mathbb{N}^*}.
Montrer que les événements {\left(A_{p}\right)_{p\in\mathcal{P}}} sont mutuellement indépendants.
-
On note {\mathcal{P}=\{p_{n},n\ge1\}} (suite croissante).
Montrer que : {\dfrac{1}{\zeta (s)}=\displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty} \left(1-\dfrac{1}{p_n^s}\right)}.
-
Déterminer la nature de la série {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{1}{p_{n}}}.
|
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :