Séries numériques
Exercices corrigés sur le thème « séries numériques » pour Spé Mp, Pc, Psi (concours Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

QCM (séries numériques)

Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 16 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Séries numériques ».

Intégrale de arctan(x tan(t))

(Oral Centrale) On étudie l’intégrale à paramètre

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\!\!\!\arctan(x \tan(t))\text{d}t}

.

Sommes harmoniques et nombre d’Apery

(Oral Centrale) On définit un certain nombre de séries numériques dans lesquelles apparaissent les sommes harmoniques

{H_n}

. Par des manipulations algébriques, on exprime

{\zeta(3)}

(la constante d’Apery) comme la somme d’une telle série.

Série de fonctions et Fibonacci

(Oral Centrale) On étudie la somme de la série de fonctions

{\sum x^n/(1-x^n)}

. On termine par une expression de la série des

{1/F_{2n}}

, où

{F}

est la suite de Fibonacci.

Série des inverses des nombres de Catalan

(Oral Centrale) On définit la suite des nombres de Catalan

{c_n}

. Par des méthodes de séries entières, on calcule la somme de la série des

{1/c_n}

et des

{n/c_n}

.

Une récurrence très sensible

(Oral Centrale) On étudie (avec Python, puis théoriquement) le comportement d’une suite récurrente, en fonction de la valeur de son terme initial.

La règle de Raabe-Duhamel

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{\alpha \in\mathbb{R}}

et

{\left(u_{n}\right)_{n\ge0}}

une suite de

{\mathbb{R}^{+*}}

.
On suppose que

{\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=1-\dfrac{\alpha}{n}+\text{O}\left(\dfrac{1}{n^{2}}\right)}

.
Déterminer la nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n}

.

Intégrales et séries

(Oral Ensam)
On pose

{a_{n}=-\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{n}\ln t}{t+1}\,\text{d}t}

Montrer que

{(a_{n})}

est définie, et déterminer sa limite.
Déterminer un équivalent de

{a_{n}}

.
Calculer

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}}

et

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}

.

Suite implicite et série

(Oral Inp)
Pour

{n\ge2}

, on pose

{f_{n}(x)=\text{e}^{x}+x-n}

.
Montrer que :

{\exists!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;f_{n}(u_{n})=0}

.
Déterminer un équivalent de

{u_{n}}

.
on pose

{v_{n}=u_{n}-a\ln(n)-\dfrac{b}{n}\ln(n)}

.
Trouver

{a,b}

tels que

{\displaystyle\sum v_{n}}

converge.

Séries (plus ou moins) alternées

Six exercices sur le thème des séries numériques (plus ou moins) alternées.

Une série de produits

(Oral Ccp)
Soit

{(a_{n})_{n\geq 1}}

une suite de

{\mathbb{R}^+}

.
On pose :

{u_{n}=\dfrac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right) \ldots \left(1+a_{n}\right)}}

Calculer

{u_{1}+u_{2}}

, et généraliser.
Montrer que la série

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_{n}}

converge.
Calculer

{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_{n}}

quand

{a_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}}

.

Nature de séries avec paramètres

Six exercices où il est question de déterminer la nature d’une série dont le terme général dépend de un ou deux paramètres.

Suites récurrentes et séries

Cinq exercices sur le thème « suites récurrentes et séries ». On étudie des séries numériques liées à une suite définie par une récurrence

{u_{n+1}=f(u_n)}

Un calcul de somme de série

(Oral Tpe)
Calculer

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n}

, où

{u_n=\dfrac{1}{n(2n-1)2^n}}

.

Des séries à somme entière

(Oral Ccp)
Pour

{p\in\mathbb{N}}

, justifier l’existence de

{S_{p}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^{p}}{2^{n}}}

.
Exprimer

{S_{p}}

en fonction de

{S_{0},\ldots,S_{p-1}}

.
Montrer que :

{\forall\,p\in\mathbb{N},\;S_{p}\in\mathbb{N}}

.

Permutation des termes d’une série

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{n\in\mathbb{N}^*}

, on pose

{\begin{cases}\sigma(3n)=4 n\\\sigma(3n-1)=2n-1\\\sigma(3 n-2)=4n-2\end{cases}}

Montrer que

{\sigma}

est bijective.
On pose

{u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n}}

et

{v_{n}=u_{\sigma(n)}}

.
Convergence et sommes de

{\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n}

et

{\displaystyle\sum_{n\ge1} v_n}

.

Encore une série d’intégrales

(Oral Ccp)
On pose

{u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n}\sin (\pi x)\,\text{d}x}

.
Étudier la convergence de

{\displaystyle\sum_{n\ge0} u_{n}}

.
Montrer que :

{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi }\dfrac{\sin t}{t}dt}

.

Somme d’une série d’intégrales

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{(p,q)\in\mathbb{N}^{2}}

, calculer

{I_{p,q}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{p}(1-t)^{q}\,\text{d}t}

.
Déterminer la nature et la somme de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}I_{n,n}}

.

La formule de Simon Plouffe

(Oral XEns)
On va prouver que

{\pi=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}}

où :

{u_{k}\!=\!\dfrac{1}{16^{k}}\Bigl(\dfrac{4}{8k+1}\!-\!\dfrac{2}{8k+4}\!-\!\dfrac{1}{8k+5}\!-\!\dfrac{1}{8k+6}\Bigr)}

Soit ${a\in]0, 1[}$ . Montrer que pour ${n,p\in\mathbb{N}^*}$ : ${\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{x^{n-1}}{1-x^{p}}\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{a^{kp+n}}{kp+n}}$
En déduire que :
${\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}=16\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^5+t^4+2t^3-4}{t^8-16}\,\text{d}t}$ Simplifier ${R(X)=\dfrac{X^5+X^4+2X^3-4}{X^{8}-16}}$ .
Conclure.
➡️

Sommes partielles et équivalents

(Oral XEns)
On suppose

{S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}\sim\dfrac{1}{a_{n}}}

(avec les

{a_n\gt 0}

)
Montrer que

{\displaystyle\sum a_n}

diverge et

{\displaystyle\lim_{+\infty}a_n=0}

.
Montrer

{\begin{cases}S_{n+1}\sim S_{n}\\\displaystyle\lim_{+\infty}(S_{n+1}^{2}-S_{n}^{2})=2\end{cases}}

puis

{a_{n}\sim \dfrac{1}{\sqrt{2n}}}

.
Réciproque : montrer que

{b_n\sim\dfrac{1}{\sqrt{2n}}\Rightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{n}b_{k}\sim\dfrac{1}{b_{n}}}

.