QCM (séries numériques)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 16 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Séries numériques ».
Séries numériques
Intégrale de arctan(x tan(t))
(Oral Centrale) On étudie l’intégrale à paramètre {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\!\!\!\arctan(x \tan(t))\text{d}t}.
Sommes harmoniques et nombre d’Apery
(Oral Centrale) On définit un certain nombre de séries numériques dans lesquelles apparaissent les sommes harmoniques {H_n}. Par des manipulations algébriques, on exprime {\zeta(3)} (la constante d’Apery) comme la somme d’une telle série.
Série de fonctions et Fibonacci
(Oral Centrale) On étudie la somme de la série de fonctions {\sum x^n/(1-x^n)}. On termine par une expression de la série des {1/F_{2n}}, où {F} est la suite de Fibonacci.
Série des inverses des nombres de Catalan
(Oral Centrale) On définit la suite des nombres de Catalan {c_n}. Par des méthodes de séries entières, on calcule la somme de la série des {1/c_n} et des {n/c_n}.
Une récurrence très sensible
(Oral Centrale) On étudie (avec Python, puis théoriquement) le comportement d’une suite récurrente, en fonction de la valeur de son terme initial.
La règle de Raabe-Duhamel
(Oral Mines-Ponts)
Soit {\alpha \in\mathbb{R}} et {\left(u_{n}\right)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}.
On suppose que {\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=1-\dfrac{\alpha}{n}+\text{O}\left(\dfrac{1}{n^{2}}\right)}.
Déterminer la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n}.
Soit {\alpha \in\mathbb{R}} et {\left(u_{n}\right)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}.
On suppose que {\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=1-\dfrac{\alpha}{n}+\text{O}\left(\dfrac{1}{n^{2}}\right)}.
Déterminer la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n}.
Intégrales et séries
(Oral Ensam)
On pose {a_{n}=-\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{n}\ln t}{t+1}\,\text{d}t}
Montrer que {(a_{n})} est définie, et déterminer sa limite.
Déterminer un équivalent de {a_{n}}.
Calculer {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.
On pose {a_{n}=-\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{n}\ln t}{t+1}\,\text{d}t}
Montrer que {(a_{n})} est définie, et déterminer sa limite.
Déterminer un équivalent de {a_{n}}.
Calculer {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.
Suite implicite et série
(Oral Inp)
Pour {n\ge2}, on pose {f_{n}(x)=\text{e}^{x}+x-n}.
Montrer que : {\exists!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;f_{n}(u_{n})=0}.
Déterminer un équivalent de {u_{n}}.
on pose {v_{n}=u_{n}-a\ln(n)-\dfrac{b}{n}\ln(n)}.
Trouver {a,b} tels que {\displaystyle\sum v_{n}} converge.
Pour {n\ge2}, on pose {f_{n}(x)=\text{e}^{x}+x-n}.
Montrer que : {\exists!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;f_{n}(u_{n})=0}.
Déterminer un équivalent de {u_{n}}.
on pose {v_{n}=u_{n}-a\ln(n)-\dfrac{b}{n}\ln(n)}.
Trouver {a,b} tels que {\displaystyle\sum v_{n}} converge.
Séries (plus ou moins) alternées
Six exercices sur le thème des séries numériques (plus ou moins) alternées.
Une série de produits
(Oral Ccp)
Soit {(a_{n})_{n\geq 1}} une suite de {\mathbb{R}^+}.
On pose : {u_{n}=\dfrac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right) \ldots \left(1+a_{n}\right)}}
Calculer {u_{1}+u_{2}}, et généraliser.
Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_{n}} converge.
Calculer {\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_{n}} quand {a_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}}.
Soit {(a_{n})_{n\geq 1}} une suite de {\mathbb{R}^+}.
On pose : {u_{n}=\dfrac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right) \ldots \left(1+a_{n}\right)}}
Calculer {u_{1}+u_{2}}, et généraliser.
Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_{n}} converge.
Calculer {\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_{n}} quand {a_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}}.
Nature de séries avec paramètres
Six exercices où il est question de déterminer la nature d’une série dont le terme général dépend de un ou deux paramètres.
Suites récurrentes et séries
Cinq exercices sur le thème « suites récurrentes et séries ». On étudie des séries numériques liées à une suite définie par une récurrence {u_{n+1}=f(u_n)}
Un calcul de somme de série
Des séries à somme entière
(Oral Ccp)
Pour {p\in\mathbb{N}}, justifier l’existence de {S_{p}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^{p}}{2^{n}}}.
Exprimer {S_{p}} en fonction de {S_{0},\ldots,S_{p-1}}.
Montrer que : {\forall\,p\in\mathbb{N},\;S_{p}\in\mathbb{N}}.
Pour {p\in\mathbb{N}}, justifier l’existence de {S_{p}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^{p}}{2^{n}}}.
Exprimer {S_{p}} en fonction de {S_{0},\ldots,S_{p-1}}.
Montrer que : {\forall\,p\in\mathbb{N},\;S_{p}\in\mathbb{N}}.
Permutation des termes d’une série
(Oral Mines-Ponts)
Pour {n\in\mathbb{N}^*}, on pose {\begin{cases}\sigma(3n)=4 n\\\sigma(3n-1)=2n-1\\\sigma(3 n-2)=4n-2\end{cases}}
Montrer que {\sigma} est bijective.
On pose {u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n}} et {v_{n}=u_{\sigma(n)}}.
Convergence et sommes de {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge1} v_n}.
Pour {n\in\mathbb{N}^*}, on pose {\begin{cases}\sigma(3n)=4 n\\\sigma(3n-1)=2n-1\\\sigma(3 n-2)=4n-2\end{cases}}
Montrer que {\sigma} est bijective.
On pose {u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n}} et {v_{n}=u_{\sigma(n)}}.
Convergence et sommes de {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge1} v_n}.
Encore une série d’intégrales
(Oral Ccp)
On pose {u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n}\sin (\pi x)\,\text{d}x}.
Étudier la convergence de {\displaystyle\sum_{n\ge0} u_{n}}.
Montrer que : {\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi }\dfrac{\sin t}{t}dt}.
On pose {u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n}\sin (\pi x)\,\text{d}x}.
Étudier la convergence de {\displaystyle\sum_{n\ge0} u_{n}}.
Montrer que : {\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi }\dfrac{\sin t}{t}dt}.
Somme d’une série d’intégrales
(Oral Mines-Ponts)
Pour {(p,q)\in\mathbb{N}^{2}}, calculer {I_{p,q}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{p}(1-t)^{q}\,\text{d}t}.
Déterminer la nature et la somme de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}I_{n,n}}.
Pour {(p,q)\in\mathbb{N}^{2}}, calculer {I_{p,q}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{p}(1-t)^{q}\,\text{d}t}.
Déterminer la nature et la somme de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}I_{n,n}}.
La formule de Simon Plouffe
(Oral XEns)
On va prouver que {\pi=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}} où :{u_{k}\!=\!\dfrac{1}{16^{k}}\Bigl(\dfrac{4}{8k+1}\!-\!\dfrac{2}{8k+4}\!-\!\dfrac{1}{8k+5}\!-\!\dfrac{1}{8k+6}\Bigr)}
On va prouver que {\pi=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}} où :{u_{k}\!=\!\dfrac{1}{16^{k}}\Bigl(\dfrac{4}{8k+1}\!-\!\dfrac{2}{8k+4}\!-\!\dfrac{1}{8k+5}\!-\!\dfrac{1}{8k+6}\Bigr)}
- Soit {a\in]0, 1[}. Montrer que pour {n,p\in\mathbb{N}^*} : {\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{x^{n-1}}{1-x^{p}}\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{a^{kp+n}}{kp+n}}
-
En déduire que :
{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}=16\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^5+t^4+2t^3-4}{t^8-16}\,\text{d}t}Simplifier {R(X)=\dfrac{X^5+X^4+2X^3-4}{X^{8}-16}}.
Conclure.
Sommes partielles et équivalents
(Oral XEns)
On suppose {S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}\sim\dfrac{1}{a_{n}}} (avec les {a_n\gt 0})
Montrer que {\displaystyle\sum a_n} diverge et {\displaystyle\lim_{+\infty}a_n=0}.
Montrer {\begin{cases}S_{n+1}\sim S_{n}\\\displaystyle\lim_{+\infty}(S_{n+1}^{2}-S_{n}^{2})=2\end{cases}} puis {a_{n}\sim \dfrac{1}{\sqrt{2n}}}.
Réciproque : montrer que {b_n\sim\dfrac{1}{\sqrt{2n}}\Rightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{n}b_{k}\sim\dfrac{1}{b_{n}}}.
On suppose {S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}\sim\dfrac{1}{a_{n}}} (avec les {a_n\gt 0})
Montrer que {\displaystyle\sum a_n} diverge et {\displaystyle\lim_{+\infty}a_n=0}.
Montrer {\begin{cases}S_{n+1}\sim S_{n}\\\displaystyle\lim_{+\infty}(S_{n+1}^{2}-S_{n}^{2})=2\end{cases}} puis {a_{n}\sim \dfrac{1}{\sqrt{2n}}}.
Réciproque : montrer que {b_n\sim\dfrac{1}{\sqrt{2n}}\Rightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{n}b_{k}\sim\dfrac{1}{b_{n}}}.
Encadrement de la somme d’une série
(Oral Ensam)
Soit, pour {n\in\mathbb{N}^*} : {u_n=\Bigl(\dfrac{n}{n+1}\Bigr)^{n^2}}.
Montrer que la série {S=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n} converge.
Majorer son reste d’indice {n} en fonction de {u_{n+1}}.
Encadrer {S} au moyen de deux sommes partielles consécutives.
Soit, pour {n\in\mathbb{N}^*} : {u_n=\Bigl(\dfrac{n}{n+1}\Bigr)^{n^2}}.
Montrer que la série {S=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n} converge.
Majorer son reste d’indice {n} en fonction de {u_{n+1}}.
Encadrer {S} au moyen de deux sommes partielles consécutives.
Deux séries de même nature
(Oral Centrale)
Soit {(u_n)_{n\geq 0}\in\mathbb{R}^\mathbb{N}} telle que {u_n\rightarrow 0}.
Soit {(a,b,c)\in\mathbb{R}^3} tel que {a+b+c\ne 0}.
On pose {v_n=au_n+bu_{n+1}+cu_{n+2}}
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge0}v_n} sont de même nature.
Soit {(u_n)_{n\geq 0}\in\mathbb{R}^\mathbb{N}} telle que {u_n\rightarrow 0}.
Soit {(a,b,c)\in\mathbb{R}^3} tel que {a+b+c\ne 0}.
On pose {v_n=au_n+bu_{n+1}+cu_{n+2}}
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge0}v_n} sont de même nature.
Série des restes d’une série
(Oral Ensam)
On pose, pour {n\in\mathbb{N}^*} : {u_n=\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{(-1)^k}{k}}.
Justifier l’existence de {u_n}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n} converge et calculer sa somme.
On pose, pour {n\in\mathbb{N}^*} : {u_n=\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{(-1)^k}{k}}.
Justifier l’existence de {u_n}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n} converge et calculer sa somme.
Série et sommes partielles
(Oral Centrale)
Soit {(u_n)_{n\geq 1}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}.
Soit {v_n=\dfrac{u_n}{S_{n}}} où {S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}u_k}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n} ont même nature.
Soit {(u_n)_{n\geq 1}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}.
Soit {v_n=\dfrac{u_n}{S_{n}}} où {S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}u_k}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n} ont même nature.
La série des j^n/n
Série et transformation d’Abel
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(u_n)_{n\geq 1}} une suite positive décroissante.
On suppose que {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n} converge.
On pose {v_n= n(u_{n}-u_{n+1})}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n} converge.
Exprimer sa somme en fonction de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n}.
Soit {(u_n)_{n\geq 1}} une suite positive décroissante.
On suppose que {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n} converge.
On pose {v_n= n(u_{n}-u_{n+1})}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n} converge.
Exprimer sa somme en fonction de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n}.
Série des inverses des entiers premiers
(Oral X-Ens)
Dans cet exercice, on écrit la fonction Zeta de Riemann comme un produit infini; on en déduit que la série des inverses des entiers premiers diverge.
Dans cet exercice, on écrit la fonction Zeta de Riemann comme un produit infini; on en déduit que la série des inverses des entiers premiers diverge.
Série et sommes partielles
(Oral Centrale)
Soit {\left(u_{n}\right)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}, et {\alpha\gt0}.
On suppose que {n\mapsto S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}} diverge.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge}\dfrac{u_{n}}{S_{n}^{\alpha}}} converge {\Leftrightarrow\alpha >1}.
Soit {\left(u_{n}\right)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}, et {\alpha\gt0}.
On suppose que {n\mapsto S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}} diverge.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge}\dfrac{u_{n}}{S_{n}^{\alpha}}} converge {\Leftrightarrow\alpha >1}.
On suppose {\displaystyle\lim_{\infty}S_{n}=S\gt0}. Soit {R_{n}=S-S_{n}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{u_{n}}{R_{n}^{\alpha-1}}} converge {\Leftrightarrow \alpha \lt 1}.
Série alternée d’intégrales
(Oral CCInp)
On note la fonction {\Gamma :x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,\text{d}t}.
On pose {u_{n}=\displaystyle\int_{n}^{n+1}\!\!\!\ln\Gamma(x)\,\text{d}x}.
Préciser la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n}}{u_{n}}}.
On note la fonction {\Gamma :x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,\text{d}t}.
On pose {u_{n}=\displaystyle\int_{n}^{n+1}\!\!\!\ln\Gamma(x)\,\text{d}x}.
Préciser la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n}}{u_{n}}}.
Une relation série-intégrale
(Oral Mines-Ponts)
On admet : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!e^{-x^{2}}dx=\dfrac{\sqrt{\pi }}{2}}. Montrer que : {I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!\dfrac{\sqrt{x}}{1+e^{x}}\text{d}x=\dfrac{(2-\sqrt{2})\sqrt\pi}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n\sqrt{n}}}
On admet : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!e^{-x^{2}}dx=\dfrac{\sqrt{\pi }}{2}}. Montrer que : {I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!\dfrac{\sqrt{x}}{1+e^{x}}\text{d}x=\dfrac{(2-\sqrt{2})\sqrt\pi}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n\sqrt{n}}}