Permutation des termes d'une série

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{n\in\mathbb{N}^*}

, on pose

{\begin{cases}\sigma(3n)=4 n\\\sigma(3n-1)=2n-1\\\sigma(3 n-2)=4n-2\end{cases}}

Montrer que ${\sigma}$ est une bijection de ${\mathbb{N}^*}$ .
On pose ${u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n}}$ et ${v_{n}=u_{\sigma(n)}}$ .

Convergence et sommes de ${\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n}$ et ${\displaystyle\sum_{n\ge1} v_n}$ .

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