Suites récurrentes et séries

1. Montrer que {\begin{cases}u_{n}^{3}\sim 6(u_{n}-u_{n+1})\\[6pt]u_{n}^{2}\sim 6\ln \dfrac{u_{n}}{u_{n+1}}\end{cases}}
2. Soit {p\in \mathbb{N}}. Déterminer la nature de {\displaystyle\sum u_{n}^{p}}.

Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_{n}} converge.

On pose {u_{0}\in\mathbb{R}^{+}} et, pour {n\in\mathbb{N}} : {u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_{n}+\sqrt{u_{n}^{2}+a_{n}^{2}}\right)\quad(\star)}

1. Montrer que : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}-u_{n}\leq \dfrac{a_{n}}{2}}.

   En déduire que si {\sum a_{n}} converge, {\left(u_{n}\right)} converge.

2. Montrer que la réciproque est fausse.
   Indication : {u_{n}=\dfrac{n}{n+1}}.

1. Étudier la convergence de cette suite.
   Déterminer la nature de la série {\displaystyle\sum(-1)^{n}a_{n}}.
2. Déterminer la nature de la série {\displaystyle\sum a_{n}^{2}}.
3. Étudier la série {\displaystyle\sum\ln(a_{n+1}\,⁄\,a_{n})}.
   En déduire la nature de la série {\displaystyle\sum a_{n}}.

1. Montrer que {f} est de classe {C^{2}} sur {\mathbb{R}}.
2. On pose {u_{0}=3} et : {\forall\,n\in \mathbb{N},\;u_{n+1}=f(u_{n})}.
   Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_{n}} converge.