Suites récurrentes et séries

Exercice 1. (Oral Tpe)
Soit {u_{0}\in\,]0,\pi /2]} et : {\forall\,n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=\sin u_{n}}.

  1. Montrer que {\begin{cases}u_{n}^{3}\sim 6(u_{n}-u_{n+1})\\[6pt]u_{n}^{2}\sim 6\ln \dfrac{u_{n}}{u_{n+1}}\end{cases}}
  2. Soit {p\in \mathbb{N}}. Déterminer la nature de {\displaystyle\sum u_{n}^{p}}.

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Exercice 2. (Oral Imt)
Soit {u_{0}\!\in\,]0,1[} et : {\forall n\!\geq\! 0,\,u_{n+1}\!=\!\dfrac{u_{n}+u_{n}^{2}}{2}\ (\star)}

Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_{n}} converge.

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Exercice 3. (Oral Ccp)
Soit {\left(a_{n}\right)_{n\geq 0}} une suite de {\mathbb{R}^+}.

On pose {u_{0}\in\mathbb{R}^{+}} et, pour {n\in\mathbb{N}} : {u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_{n}+\sqrt{u_{n}^{2}+a_{n}^{2}}\right)\quad(\star)}

  1. Montrer que : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}-u_{n}\leq \dfrac{a_{n}}{2}}.

    En déduire que si {\sum a_{n}} converge, {\left(u_{n}\right)} converge.

  2. Montrer que la réciproque est fausse.
    Indication : {u_{n}=\dfrac{n}{n+1}}.

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Exercice 4. (Oral Mines-Ponts)
Soit {a_{0}> 0} et : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;a_{n+1}=1-\text{e}^{-a_{n}}\ (\star)}

  1. Étudier la convergence de cette suite.
    Déterminer la nature de la série {\displaystyle\sum(-1)^{n}a_{n}}.
  2. Déterminer la nature de la série {\displaystyle\sum a_{n}^{2}}.
  3. Étudier la série {\displaystyle\sum\ln(a_{n+1}\,⁄\,a_{n})}.
    En déduire la nature de la série {\displaystyle\sum a_{n}}.

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Exercice 5. (Oral Tpe)
On pose {f(0)=0} et : {\forall\,x\ne0,\;f(x)=e^{-1/x^{2}}}.

  1. Montrer que {f} est de classe {C^{2}} sur {\mathbb{R}}.
  2. On pose {u_{0}=3} et : {\forall\,n\in \mathbb{N},\;u_{n+1}=f(u_{n})}.
    Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_{n}} converge.

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