Suites récurrentes et séries

Exercice 1. (Oral Tpe)
Soit {u_{0}\in\,]0,\pi /2]} et : {\forall\,n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=\sin u_{n}}.

  1. Montrer que {\begin{cases}u_{n}^{3}\sim 6(u_{n}-u_{n+1})\\[6pt]u_{n}^{2}\sim 6\ln \dfrac{u_{n}}{u_{n+1}}\end{cases}}
  2. Soit {p\in \mathbb{N}}. Déterminer la nature de {\displaystyle\sum u_{n}^{p}}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écrans, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 2. (Oral Imt)
Soit {u_{0}\!\in\,]0,1[} et : {\forall n\!\geq\! 0,\,u_{n+1}\!=\!\dfrac{u_{n}+u_{n}^{2}}{2}\ (\star)}

Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_{n}} converge.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écrans, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 3. (Oral Ccp)
Soit {\left(a_{n}\right)_{n\geq 0}} une suite de {\mathbb{R}^+}.

On pose {u_{0}\in\mathbb{R}^{+}} et, pour {n\in\mathbb{N}} : {u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_{n}+\sqrt{u_{n}^{2}+a_{n}^{2}}\right)\quad(\star)}

  1. Montrer que : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}-u_{n}\leq \dfrac{a_{n}}{2}}.

    En déduire que si {\sum a_{n}} converge, {\left(u_{n}\right)} converge.

  2. Montrer que la réciproque est fausse.
    Indication : {u_{n}=\dfrac{n}{n+1}}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écrans, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 4. (Oral Mines-Ponts)
Soit {a_{0}> 0} et : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;a_{n+1}=1-\text{e}^{-a_{n}}\ (\star)}

  1. Étudier la convergence de cette suite.
    Déterminer la nature de la série {\displaystyle\sum(-1)^{n}a_{n}}.
  2. Déterminer la nature de la série {\displaystyle\sum a_{n}^{2}}.
  3. Étudier la série {\displaystyle\sum\ln(a_{n+1}\,⁄\,a_{n})}.
    En déduire la nature de la série {\displaystyle\sum a_{n}}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écrans, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 5. (Oral Tpe)
On pose {f(0)=0} et : {\forall\,x\ne0,\;f(x)=e^{-1/x^{2}}}.

  1. Montrer que {f} est de classe {C^{2}} sur {\mathbb{R}}.
  2. On pose {u_{0}=3} et : {\forall\,n\in \mathbb{N},\;u_{n+1}=f(u_{n})}.
    Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_{n}} converge.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écrans, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).