Une série de produits

(Oral Ccp)
Soit {(a_{n})_{n\geq 1}} une suite de {\mathbb{R}^+}.

On pose : {u_{n}=\dfrac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right) \ldots \left(1+a_{n}\right)}}.

Calculer {u_{1}+u_{2}}, et généraliser.

Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_{n}} converge.
Calculer {\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_{n}} quand {a_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}}.

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