Intégrale de arctan(x tan(t))

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On pose {f(x)=\displaystyle{\displaystyle\int_0^{\pi/2}\!\!\arctan(x \tan (t))\,\text{d}t}}.

Question 1
Étudier le domaine de définition de {f}, sa continuité et sa dérivabilité.
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Question 2
Montrer que : {\forall\,x>0,\;f(x)=\displaystyle\int_0^x \dfrac{\ln u}{u^2-1}\,\text{d}u}.
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Question 3
En déduire un équivalent de {f} en {0}.
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Question 4
Existence et calcul de : {I=\displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{\ln(u)}{u^2-1}\,\text{d}u}.
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Question 5
Retrouver {I} à partir de {\displaystyle\int_0^{1} \dfrac{\ln(u)}{u^2-1}\,\text{d}u} et en utilisant un développement en série entière.
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