Séries numériques
Exercices corrigés sur le thème « séries numériques » pour Spé Mp, Pc, Psi (concours Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

Une série numérique à paramètre

(Oral Centrale)
Étude de

{S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}

, où

{u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}

.

Équivalents et sommes partielles

(Oral X-Cachan Psi)
Équivalents et sommes partielles.

Produits de Cauchy

Six exercices sur le thème « Produit de Cauchy de séries entières ».

Séries numériques alternées

Six exercices sur le thème « séries alternées ».

Calculs de sommes de séries

Petits calculs de sommes de séries (sept exercices)

Une jolie égalité intégrale/série

Prouver l’égalité

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\,\text{d}x}{\,x^{x}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\,\dfrac{1}{n^{n}}}

.

D’Alembert (ou pas)

Préciser la nature de

{\displaystyle\sum u_n}

et

{\displaystyle\sum v_n}

, où :

{\begin{array}{rl}u_{n}&=\dfrac{2\cdot5\cdot8\cdots(3n\!-\!1)}{1\cdot5\cdot9\cdots(4n\!-\!3)}\\\\v_{n}&=\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\end{array}}

Une série à paramètres

Convergence (et somme éventuelle) de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\bigl(\sqrt{n}+a\sqrt{n\!+\!1}+b\sqrt{n\!+\!2}\bigr)}

Intégrales de Wallis hyperboliques

(Oral Centrale)
On étudie

{I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\,\text{sh}^n(t)\,\text{d}t}

où

\text{sh}(\alpha)=1

(calcul approché avec Python, relation de récurrence, limite, équivalent, séries…)

Sommes harmoniques et séries

(Oral Ccp)
On calcule

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}}

, où

{u_{n}=\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}}}

.

Suite implicite et série

(Oral Ccp)
Soit

u_n

l’unique solution réelle de

nx^{3}+n^{2}x=2

.
Étudier

{(u_{n})_{n\ge1}}

, puis la convergence de

{\displaystyle\sum_{n\ge1} u_{n}^{\alpha}}

selon

{\alpha}

.

Deux sommes de séries numériques

(Oral Ccp)
Calculer

{\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(1+\dfrac{2}{n(n\!+\!3)}\Bigr)}

, et

{\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(\cos\Bigl(\dfrac{x}{2^{n}}\Bigr)\Bigr)}

pour

{-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}}

Équivalents et séries numériques

(Oral Ccp)
Équivalent de

{v_{n}=\displaystyle\sum_{q=n}^{+\infty}\dfrac{1}{q^{\alpha}}}

, puis nature de

{\displaystyle\sum \dfrac{v_{n^{2}}}{v_{n}}}

.

Nature de ∑sin(2πen!)

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{R_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}\dfrac{1}{k!}}

. Montrer

{\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n\!+\!1)!R_{n}=1}

.
Préciser la nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\sin (2\pi\text{e}\,n!)}

.

Suite récurrente, calculs asymptotiques

(Oral Centrale)
Soit

{x_{0}>0}

et :

{\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}

.
On demande un développement asymptotique à deux termes de

{x_n}

en

{+\infty}

.

Tir au laser sur une bactérie

(Oral Ccem)
Toutes les secondes, on tire au rayon laser sur une bactérie. Chaque tir, indépendant du précédent, touche la bactérie avec la probabilité

{p\in\,]0,1[}

.
La bactérie meurt lorsqu’elle a été touchée par

{r + 1}

tirs de laser, avec

{r\in\mathbb{N}^{*}}

. Soit

{X}

la durée de vie de la bactérie. Déterminer sa loi, puis

{\text{E}(X)}

.

La somme des 1/k^2

(Oral Mines-Ponts)
Une méthode classique, avec du calcul intégral, pour obtenir la valeur de

{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}

.

Somme d’une série numérique

(Oral Mines-Ponts)
Calculer la somme

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{(3n)!}}

.

Suite implicite et série

(Oral Ccp)
Soit

u_n

l’unique solution positive de

{x^{n}\!+\!x\sqrt{n}\!-\!1\!=\!0}

.
Étudier

(u_n)

, puis

{\displaystyle\sum u_{n}}

et

{\displaystyle\sum(-1)^{n}u_{n}}

.

Nature d’une série numérique

(Oral Centrale)
Nature de

{\displaystyle\sum a_{n}}

, où

{a_{0}>0}

et

{a_{n+1}=\ln(1\!+\!a_{n})}