Séries numériques
Exercices corrigés sur le thème « séries numériques » pour Spé Mp, Pc, Psi (concours Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

(Oral X-Cachan Psi)
On pose

{x \in[0,1[}

{x_{1} = \lfloor 2x\rfloor}

Puis

{x_{n+1}= \lfloor 2^{n+1}(x - S_{n})\rfloor}

, où

{S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}}{2^{k}}}

.
On étudie la convergence de la suite

(S_n)

vers

x

, et l’unicité de la représentation.

(Oral Ccp)
1. Intégrabilité des

{f_{n}\,\colon x\to \dfrac{x^{2n+1}\ln(x)}{x^{2}-1}}

sur

{]0,1[}

.
On note

{I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,\text{d}x}

. Déterminer

{\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}I_{n}}

.
2. Montrer que

{I_{n}=\displaystyle\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}

.
En déduire un équivalent de

{I_{n}}

On démontre ici l’équivalent :

{n!\overset{+\infty}\sim \Bigl(\dfrac{n}{\text{e}}\Bigr)^{n}\,\sqrt{2\pi n}}

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{x\in\,\mathbb{R}^{+*}}

. On pose :

{u_{n}=\dfrac{n!}{x^{n}}\,\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{x}{k}\Bigr)}

.
Préciser

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n(x)}

.
Étudier la convergence de

{\displaystyle\sum\Bigl(v_{n}-\alpha\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)\Bigr)}

.
En déduire qu’il existe

{A > 0}

tel que

{u_{n}\underset{+\infty}{\sim} An^{\alpha}}