Écriture binaire d'un nombre réel

(Oral X-Cachan Psi)
On pose

{x \in[0,1[}

{x_{1} = \lfloor 2x\rfloor}

.
Pour tout

{n\in\mathbb{N}^{*}}

, on pose :

{x_{n+1}= \lfloor 2^{n+1}(x - S_{n})\rfloor\;\text{où}\;S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}}{2^{k}}}

Vérifier ${S_{n}\le x \lt S_{n} +\dfrac{1}{2^{n}}}$ pour ${n\in\mathbb{N}^{*}}$ .
Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes:
$\cdot\ x=j\,2^{-m}$ avec $j$ entier, ${0\le j\lt 2^{m}}$
${\cdot\ x_{k}=0}$ pour tout ${k > m}$ .
Soit ${f\colon\{0,1\}^{\mathbb{N}^{*}}\rightarrow[0,1],\;(x_{k})_{k\ge1}\mapsto \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{x_{k}}{2^{k}}}$ .
Montrer que $f$ est bien définie, surjective mais pas injective.

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