Étude de la série des 1/n^z
(Oral Centrale 2018)
Déterminer une CNS sur {z\in\mathbb{C}} pour que {\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^{z}}}converge.
Déterminer une CNS sur {z\in\mathbb{C}} pour que {\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^{z}}}converge.
Séries numériques
Produits infinis
(Oral Centrale 2018)
Soit {(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+*})^{\mathbb{N}}}. On pose {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}a_{k}}.
On dit que le produit (infini) {\displaystyle\prod_{k\ge0}a_{k}} converge si la suite {(P_{n})} converge dans {\mathbb{R}^{+*}}.
Établir des conditions pour qu’un produit infini converge.
Soit {(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+*})^{\mathbb{N}}}. On pose {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}a_{k}}.
On dit que le produit (infini) {\displaystyle\prod_{k\ge0}a_{k}} converge si la suite {(P_{n})} converge dans {\mathbb{R}^{+*}}.
Établir des conditions pour qu’un produit infini converge.
Somme d’une série alternée
(Oral Centrale 2018)
Donner un équivalente de {S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=3}^{n}\dfrac{\ln k}{k}}.
Montrer que la suite {n\mapsto u_{n}=S_{n}-\dfrac{\ln ^{2}(n)}{2}} converge.
Calculer {T=\displaystyle\sum_{k=3}^{+\infty}(-1)^k\dfrac{\ln(k)}{k}} (en fonction de la constante d’Euler)
Donner un équivalente de {S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=3}^{n}\dfrac{\ln k}{k}}.
Montrer que la suite {n\mapsto u_{n}=S_{n}-\dfrac{\ln ^{2}(n)}{2}} converge.
Calculer {T=\displaystyle\sum_{k=3}^{+\infty}(-1)^k\dfrac{\ln(k)}{k}} (en fonction de la constante d’Euler)
Une petite série numérique
(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer la nature de {\displaystyle\sum\sin\big(\pi \sqrt{1+n^{2}}\big)}.
Déterminer la nature de {\displaystyle\sum\sin\big(\pi \sqrt{1+n^{2}}\big)}.
Intégrale et série numérique
(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln (1-t^{2})\ln (t)}{t^{2}}\,\text{d}t=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(2n-1)^{2}}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln (1-t^{2})\ln (t)}{t^{2}}\,\text{d}t=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(2n-1)^{2}}}.
Une série réellement alternée
(Oral Mines-Ponts 2018)
Nature de {\displaystyle\sum_{n\ge2}u_{n}} où {u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{2k+1}}.
Nature de {\displaystyle\sum_{n\ge2}u_{n}} où {u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{2k+1}}.
Une série faussement alternée
Une suite récurrente paramétrée
Longueur approchée d’une ellipse
(Oral Centrale)
Approximation de l’intégrale donnant la longueur d’une ellipse.
Approximation de l’intégrale donnant la longueur d’une ellipse.
Une intégrale qui résiste
(Oral Centrale)
Calcul de l’intégrale {J=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln^2(1-x)}{x}\,\text{d}x}.
Calcul de l’intégrale {J=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln^2(1-x)}{x}\,\text{d}x}.
Une série numérique à paramètre
(Oral Centrale)
Étude de {S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}.
Étude de {S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}.
Équivalents et sommes partielles
(Oral X-Cachan Psi)
Équivalents et sommes partielles.
Équivalents et sommes partielles.
Produits de Cauchy
Six exercices sur le thème « Produit de Cauchy de séries entières ».
Séries numériques alternées
Six exercices sur le thème « séries alternées ».
Calculs de sommes de séries
Petits calculs de sommes de séries (sept exercices)
Une jolie égalité intégrale/série
Prouver l’égalité {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\,\text{d}x}{\,x^{x}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\,\dfrac{1}{n^{n}}}.
D’Alembert (ou pas)
Préciser la nature de {\displaystyle\sum u_n} et {\displaystyle\sum v_n}, où : {\begin{array}{rl}u_{n}&=\dfrac{2\cdot5\cdot8\cdots(3n\!-\!1)}{1\cdot5\cdot9\cdots(4n\!-\!3)}\\\\v_{n}&=\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\end{array}}
Une série à paramètres
Convergence (et somme éventuelle) de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\bigl(\sqrt{n}+a\sqrt{n\!+\!1}+b\sqrt{n\!+\!2}\bigr)}
Intégrales de Wallis hyperboliques
(Oral Centrale)
On étudie {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\,\text{sh}^n(t)\,\text{d}t} où \text{sh}(\alpha)=1
(calcul approché avec Python, relation de récurrence, limite, équivalent, séries…)
On étudie {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\,\text{sh}^n(t)\,\text{d}t} où \text{sh}(\alpha)=1
(calcul approché avec Python, relation de récurrence, limite, équivalent, séries…)
Sommes harmoniques et séries
(Oral Ccp)
On calcule {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}}}.
On calcule {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}}}.
Suite implicite et série
(Oral Ccp)
Soit u_n l’unique solution réelle de nx^{3}+n^{2}x=2.
Étudier {(u_{n})_{n\ge1}}, puis la convergence de {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_{n}^{\alpha}} selon {\alpha}.
Soit u_n l’unique solution réelle de nx^{3}+n^{2}x=2.
Étudier {(u_{n})_{n\ge1}}, puis la convergence de {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_{n}^{\alpha}} selon {\alpha}.
Deux sommes de séries numériques
(Oral Ccp)
Calculer {\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(1+\dfrac{2}{n(n\!+\!3)}\Bigr)}, et {\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(\cos\Bigl(\dfrac{x}{2^{n}}\Bigr)\Bigr)} pour {-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}}
Calculer {\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(1+\dfrac{2}{n(n\!+\!3)}\Bigr)}, et {\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(\cos\Bigl(\dfrac{x}{2^{n}}\Bigr)\Bigr)} pour {-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}}
Équivalents et séries numériques
(Oral Ccp)
Équivalent de {v_{n}=\displaystyle\sum_{q=n}^{+\infty}\dfrac{1}{q^{\alpha}}}, puis nature de {\displaystyle\sum \dfrac{v_{n^{2}}}{v_{n}}}.
Équivalent de {v_{n}=\displaystyle\sum_{q=n}^{+\infty}\dfrac{1}{q^{\alpha}}}, puis nature de {\displaystyle\sum \dfrac{v_{n^{2}}}{v_{n}}}.
Nature de ∑sin(2πen!)
(Oral Mines-Ponts)
Soit {R_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}\dfrac{1}{k!}}. Montrer {\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n\!+\!1)!R_{n}=1}.
Préciser la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\sin (2\pi\text{e}\,n!)}.
Soit {R_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}\dfrac{1}{k!}}. Montrer {\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n\!+\!1)!R_{n}=1}.
Préciser la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\sin (2\pi\text{e}\,n!)}.
Suite récurrente, calculs asymptotiques
(Oral Centrale)
Soit {x_{0}>0} et : {\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}.
On demande un développement asymptotique à deux termes de {x_n} en {+\infty}.
Soit {x_{0}>0} et : {\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}.
On demande un développement asymptotique à deux termes de {x_n} en {+\infty}.
Tir au laser sur une bactérie
(Oral Ccem)
Toutes les secondes, on tire au rayon laser sur une bactérie. Chaque tir, indépendant du précédent, touche la bactérie avec la probabilité {p\in\,]0,1[}.
La bactérie meurt lorsqu’elle a été touchée par {r + 1} tirs de laser, avec {r\in\mathbb{N}^{*}}. Soit {X} la durée de vie de la bactérie. Déterminer sa loi, puis {\text{E}(X)}.
Toutes les secondes, on tire au rayon laser sur une bactérie. Chaque tir, indépendant du précédent, touche la bactérie avec la probabilité {p\in\,]0,1[}.
La bactérie meurt lorsqu’elle a été touchée par {r + 1} tirs de laser, avec {r\in\mathbb{N}^{*}}. Soit {X} la durée de vie de la bactérie. Déterminer sa loi, puis {\text{E}(X)}.
La somme des 1/k^2
(Oral Mines-Ponts)
Une méthode classique, avec du calcul intégral, pour obtenir la valeur de {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.
Une méthode classique, avec du calcul intégral, pour obtenir la valeur de {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.
Somme d’une série numérique
Suite implicite et série
(Oral Ccp)
Soit u_n l’unique solution positive de {x^{n}\!+\!x\sqrt{n}\!-\!1\!=\!0}.
Étudier (u_n), puis {\displaystyle\sum u_{n}} et {\displaystyle\sum(-1)^{n}u_{n}}.
Soit u_n l’unique solution positive de {x^{n}\!+\!x\sqrt{n}\!-\!1\!=\!0}.
Étudier (u_n), puis {\displaystyle\sum u_{n}} et {\displaystyle\sum(-1)^{n}u_{n}}.
Nature d’une série numérique
Somme d’une série alternée
(Oral Centrale)
Convergence et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)}.
Convergence et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)}.
Convergence d’une série alternée
Diagonalisation et série numérique
(Oral Centrale)
Nature de {\displaystyle\sum\sin(\pi\,a^{n})}, où a est la valeur propre réelle de {A={\small\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}.
Nature de {\displaystyle\sum\sin(\pi\,a^{n})}, où a est la valeur propre réelle de {A={\small\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}.
Intégrale et séries numériques
(Oral Ccp)
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t\ln^{2}(t)}{(1-t)^{2}}\text{d}t=2\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t\ln^{2}(t)}{(1-t)^{2}}\text{d}t=2\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}
Intégrale généralisée et série
(Oral Mines)
Montrer que {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln(1-x)}{x}\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}}.
Montrer que {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln(1-x)}{x}\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}}.
Convergence d’une série numérique
(Oral Mines-Ponts)
Condition sur {P\in\mathbb{R}[X]} pour que {\displaystyle\sum\Bigl(\big( n^4+n^2\big)^{1/4}-\big(P(n)\big)^{1/3}\Bigr)} converge.
Condition sur {P\in\mathbb{R}[X]} pour que {\displaystyle\sum\Bigl(\big( n^4+n^2\big)^{1/4}-\big(P(n)\big)^{1/3}\Bigr)} converge.
Somme d’une série numérique alternée
(Oral Mines-Ponts)
Convergence et somme de la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{(-1)^{n}}{3n+1}}
Convergence et somme de la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{(-1)^{n}}{3n+1}}
Série définie par une intégrale
(Oral Mines-Ponts)
Étudier la série de terme général {u_{n}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\!\!\text{e}^{-x^{n}}\,\text{d}x}.
Étudier la série de terme général {u_{n}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\!\!\text{e}^{-x^{n}}\,\text{d}x}.
Une série numérique
Une série de produits
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {\varphi\in\mathcal{C}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}, avec un DL à tout ordre en 1/x.
On étudie la convergence de la série des {p_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\varphi(k)}.
On applique ce résultat quand \varphi(x)=2-\text{e}^{-\alpha/x}
Soit {\varphi\in\mathcal{C}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}, avec un DL à tout ordre en 1/x.
On étudie la convergence de la série des {p_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\varphi(k)}.
On applique ce résultat quand \varphi(x)=2-\text{e}^{-\alpha/x}
Écriture binaire d’un nombre réel
(Oral X-Cachan Psi)
On pose {x \in[0,1[} et {x_{1} = \lfloor 2x\rfloor}
Puis {x_{n+1}= \lfloor 2^{n+1}(x - S_{n})\rfloor}, où {S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}}{2^{k}}}.
On étudie la convergence de la suite (S_n) vers x, et l’unicité de la représentation.
On pose {x \in[0,1[} et {x_{1} = \lfloor 2x\rfloor}
Puis {x_{n+1}= \lfloor 2^{n+1}(x - S_{n})\rfloor}, où {S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}}{2^{k}}}.
On étudie la convergence de la suite (S_n) vers x, et l’unicité de la représentation.
Suite d’intégrales et série
(Oral Ccp)
1. Intégrabilité des {f_{n}\,\colon x\to \dfrac{x^{2n+1}\ln(x)}{x^{2}-1}} sur {]0,1[}.
On note {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,\text{d}x}. Déterminer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}I_{n}}.
2. Montrer que {I_{n}=\displaystyle\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.
En déduire un équivalent de {I_{n}}.
1. Intégrabilité des {f_{n}\,\colon x\to \dfrac{x^{2n+1}\ln(x)}{x^{2}-1}} sur {]0,1[}.
On note {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,\text{d}x}. Déterminer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}I_{n}}.
2. Montrer que {I_{n}=\displaystyle\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.
En déduire un équivalent de {I_{n}}.
Formule de Stirling
On démontre ici l’équivalent : {n!\overset{+\infty}\sim \Bigl(\dfrac{n}{\text{e}}\Bigr)^{n}\,\sqrt{2\pi n}}.
Série et produit infini
(Oral Mines-Ponts)
Soit {x\in\,\mathbb{R}^{+*}}. On pose : {u_{n}=\dfrac{n!}{x^{n}}\,\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{x}{k}\Bigr)}.
Préciser {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n(x)}.
Étudier la convergence de {\displaystyle\sum\Bigl(v_{n}-\alpha\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)\Bigr)}.
En déduire qu’il existe {A > 0} tel que {u_{n}\underset{+\infty}{\sim} An^{\alpha}}.
Soit {x\in\,\mathbb{R}^{+*}}. On pose : {u_{n}=\dfrac{n!}{x^{n}}\,\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{x}{k}\Bigr)}.
Préciser {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n(x)}.
Étudier la convergence de {\displaystyle\sum\Bigl(v_{n}-\alpha\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)\Bigr)}.
En déduire qu’il existe {A > 0} tel que {u_{n}\underset{+\infty}{\sim} An^{\alpha}}.