Une relation série-intégrale

(Oral Mines-Ponts)
On admet : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!e^{-x^{2}}dx=\dfrac{\sqrt{\pi }}{2}}. Montrer que : {I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!\dfrac{\sqrt{x}}{1+e^{x}}\text{d}x=\dfrac{(2-\sqrt{2})\sqrt\pi}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n\sqrt{n}}}
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