Série des f(n) avec hypothèse sur f’/f

(Oral Centrale)

  1. Soit {f\in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\;\mathbb{R}_{+}^{\ast})}, avec {\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=-\infty}.

    • Exemple? Calculer la suite {\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{f(n+1)}{f(n)}}.
    • Établir la convergence de la série {\displaystyle\sum f(n)}.
  2. On suppose maintenant {\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\alpha \lt 0}.

    • Exemple? Que dire de la série {\displaystyle\sum f(n)} ?
    • Étudier, la convergence de {\displaystyle\sum n^{\beta}f(n)}.

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