Série et sommes partielles

(Oral Centrale)
Soit

{\left(u_{n}\right)_{n\ge0}}

une suite de

{\mathbb{R}^{+*}}

.
Soit

{\alpha}

un réel strictement positif.

On suppose que ${n\mapsto S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}}$ diverge.
Montrer que ${\displaystyle\sum_{n\ge}\dfrac{u_{n}}{S_{n}^{\alpha}}}$ converge ${\Leftrightarrow\alpha >1}$ .
On suppose que ${\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_{n}=S\gt0}$ .
On note ${R_{n}=S-S_{n}}$ .

Montrer que ${\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{u_{n}}{R_{n}^{\alpha-1}}}$ converge ${\Leftrightarrow \alpha \lt 1}$ .

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