Une série et un rayon de convergence

(Oral Mines-Ponts)
Soit {F(x)\!=\!\!\displaystyle\int_0^x\!\! \sin(t^2)\text{d}t} et {a_n\!=\!\!\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\!\!\!\!\!\!\!\sin(t^2)\text{d}t}

  1. Montrer que {\displaystyle\sum a_n} converge, et que {\displaystyle\lim_{+\infty}F} existe.
  2. Donner le rayon de convergence de {\displaystyle\sum a_n x^n}.

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