(Oral Centrale) On considère l’unique fonction {\mathcal{C}^\infty} vérifiant {y^3(x)+y(x)+x=0}. On vérifie que {y(x)} satisfait à une équation différentielle linéaire d’ordre 2, et on en déduit que {y(x)} est développable en série entière.
(Oral centrale) On étudie une méthode de calcul de la somme de la série entière {\sum P(n)H_nx^n}, où {P} est un polynôme et où {H_n} est le {n}-ième nombre harmonique.
Oral Centrale) On s’intéresse aux séries entières dont les coefficients valent 0 ou 1 et à l’ensemble des complexes z qui annulent une telle série entière.
(Oral Centrale) On définit la suite de Fibonacci et une suite de polynômes associés. On étudie ensuite une série entière reliée à cette suite de polynômes.
(Oral Centrale) On définit une série entière. Après en avoir déterminé le rayon de convergence, on en calcule la somme par une méthode d’équation différentielle.
(Oral Centrale) On étudie une série entière de somme {f}. Après résolution d’une équation différentielle linéaire, on calcule {f} aux bornes de l’intervalle de convergence.
(Oral Centrale) On définit la suite des nombres de Catalan {c_n}. Par des méthodes de séries entières, on calcule la somme de la série des {1/c_n} et des {n/c_n}.
(Oral Centrale) On définit une suite numérique par récurrence forte. Par des arguments de séries entières, on obtient une expression explicite du terme général.
(Oral Centrale) On définit la suite des polynômes de Bernoulli par itération d’un endomorphisme continu de {\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})} muni de la norme infinie.
(Oral Centrale). À l’aide de l’opérateur {\Delta} sur les polynômes, on étudie les séries entières de la forme {\sum P(n)x^n}, où {P} est un polynôme donné.
(Oral Mines-Ponts)
On pose {H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}.
Soit {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}H_n x^{n}} et {g(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \ln (n) x^{n}}
Donner le rayon de {f} et {g}, et calculer {f(x)}.
Montrer que {f(x) \underset{1}\sim g(x)} et trouver {\displaystyle\lim_{-1}g(x)}.
(Oral Mines-Ponts)
Pour tout {n\ge\mathbb{N}}, on pose {a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \cos^{n}t\,\text{d}t}.
Étudier la série entière {\displaystyle\sum_{n\ge0}a_nx^n}.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(a_{n})} une suite telle que {a_{0}=1} et : {\forall\, n\geq1,\;\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{a_{k}}{(n-k)!}=1\quad(\star)}Montrer que, pour tout {n\in \mathbb{N}}, {a_{n}\in \lbrack 0,1]}.
Calculer la limite de la suite {(a_{n})}.
(Oral Mines-Ponts)
Montrer que {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\text{e}^{-t\sin x}\,\text{d}x} est solution de {(E) : ty^{\prime \prime}+y^{\prime }-ty+1=0}Solutions de {(E)} développables en série entière ?
En déduire {\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\sin^{n}(x)\,\text{d}x} pour tout {n\in \mathbb{N}}.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f\in\mathcal{C}^\infty[0,a[}, à dérivées toutes positives.
Soit {R_{n}(x)}e son reste intégral d’ordre {n} sur {[0,x]}.
Montrer que {x\mapsto R_{n}(x)/x^{n+1}} est croissante.
En déduire que {f} est DSE sur {[0,a[}.