QCM (séries entières)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 19 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Séries entières ».
Séries entières
Intégrale de exp(-x^4)cos(xt)
(Oral Centrale) On étudie l’intégrale à paramètre {f(t)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\!\!\text{e}^{-x^4}\cos(xt)\,\text{d}x}
Équation fonctionnelle et série entière
(Oral Centrale) On considère l’unique fonction {\mathcal{C}^\infty} vérifiant {y^3(x)+y(x)+x=0}. On vérifie que {y(x)} satisfait à une équation différentielle linéaire d’ordre 2, et on en déduit que {y(x)} est développable en série entière.
Séries entières et sommes harmoniques
(Oral centrale) On étudie une méthode de calcul de la somme de la série entière {\sum P(n)H_nx^n}, où {P} est un polynôme et où {H_n} est le {n}-ième nombre harmonique.
Séries entières à coefficients 0 ou 1
Oral Centrale) On s’intéresse aux séries entières dont les coefficients valent 0 ou 1 et à l’ensemble des complexes z qui annulent une telle série entière.
Série entière et matrice circulante
(Oral Centrale) On définit une famille de séries entières, base de l’espace des solutions de {y^{(n)}=y}. On calcule un déterminant circulant associé.
Série entière et suite de Fibonacci
(Oral Centrale) On définit la suite de Fibonacci et une suite de polynômes associés. On étudie ensuite une série entière reliée à cette suite de polynômes.
Une somme (bis) de série entière
(Oral Centrale) On définit une série entière. Après en avoir déterminé le rayon de convergence, on en calcule la somme par une méthode d’équation différentielle.
Somme d’une série entière
(Oral Centrale) On calcule ici la somme d’une série entière, par des techniques de calcul intégral et d’interversion somme/intégrale. Très classique.
Série entière à coefficients factoriels
(Oral Centrale) On étudie une série entière de somme {f}. Après résolution d’une équation différentielle linéaire, on calcule {f} aux bornes de l’intervalle de convergence.
Série génératrice d’une récurrence linéaire
(Oral Centrale) On étudie la série entière génératrice d’une récurrence linéaire d’ordre 3. Par plusieurs points de vue, on résout cette récurrence.
Série des inverses des nombres de Catalan
(Oral Centrale) On définit la suite des nombres de Catalan {c_n}. Par des méthodes de séries entières, on calcule la somme de la série des {1/c_n} et des {n/c_n}.
Suites récurrentes et produit de Cauchy
(Oral Centrale) On définit une suite numérique par récurrence forte. Par des arguments de séries entières, on obtient une expression explicite du terme général.
Autour des polynômes de Bernoulli
(Oral Centrale) On définit la suite des polynômes de Bernoulli par itération d’un endomorphisme continu de {\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})} muni de la norme infinie.
Opérateur Δ sur les polynômes
(Oral Centrale). À l’aide de l’opérateur {\Delta} sur les polynômes, on étudie les séries entières de la forme {\sum P(n)x^n}, où {P} est un polynôme donné.
Série entière des ln(n)x^n
(Oral Mines-Ponts)
On pose {H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}.
Soit {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}H_n x^{n}} et {g(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \ln (n) x^{n}}
Donner le rayon de {f} et {g}, et calculer {f(x)}.
Montrer que {f(x) \underset{1}\sim g(x)} et trouver {\displaystyle\lim_{-1}g(x)}.
On pose {H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}.
Soit {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}H_n x^{n}} et {g(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \ln (n) x^{n}}
Donner le rayon de {f} et {g}, et calculer {f(x)}.
Montrer que {f(x) \underset{1}\sim g(x)} et trouver {\displaystyle\lim_{-1}g(x)}.
Série entière à la Wallis
(Oral Mines-Ponts)
Pour tout {n\ge\mathbb{N}}, on pose {a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \cos^{n}t\,\text{d}t}.
Étudier la série entière {\displaystyle\sum_{n\ge0}a_nx^n}.
Pour tout {n\ge\mathbb{N}}, on pose {a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \cos^{n}t\,\text{d}t}.
Étudier la série entière {\displaystyle\sum_{n\ge0}a_nx^n}.
Limite d’une suite récurrente
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(a_{n})} une suite telle que {a_{0}=1} et :
{\forall\, n\geq1,\;\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{a_{k}}{(n-k)!}=1\quad(\star)}Montrer que, pour tout {n\in \mathbb{N}}, {a_{n}\in \lbrack 0,1]}.
Calculer la limite de la suite {(a_{n})}.
Soit {(a_{n})} une suite telle que {a_{0}=1} et :
{\forall\, n\geq1,\;\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{a_{k}}{(n-k)!}=1\quad(\star)}Montrer que, pour tout {n\in \mathbb{N}}, {a_{n}\in \lbrack 0,1]}.
Calculer la limite de la suite {(a_{n})}.
Intégrale à paramètre et série entière
(Oral Mines-Ponts)
Montrer que {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\text{e}^{-t\sin x}\,\text{d}x} est solution de {(E) : ty^{\prime \prime}+y^{\prime }-ty+1=0}Solutions de {(E)} développables en série entière ?
En déduire {\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\sin^{n}(x)\,\text{d}x} pour tout {n\in \mathbb{N}}.
Montrer que {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\text{e}^{-t\sin x}\,\text{d}x} est solution de {(E) : ty^{\prime \prime}+y^{\prime }-ty+1=0}Solutions de {(E)} développables en série entière ?
En déduire {\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\sin^{n}(x)\,\text{d}x} pour tout {n\in \mathbb{N}}.
Développabilité en série entière
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f\in\mathcal{C}^\infty[0,a[}, à dérivées toutes positives.
Soit {R_{n}(x)}e son reste intégral d’ordre {n} sur {[0,x]}.
Montrer que {x\mapsto R_{n}(x)/x^{n+1}} est croissante.
En déduire que {f} est DSE sur {[0,a[}.
Soit {f\in\mathcal{C}^\infty[0,a[}, à dérivées toutes positives.
Soit {R_{n}(x)}e son reste intégral d’ordre {n} sur {[0,x]}.
Montrer que {x\mapsto R_{n}(x)/x^{n+1}} est croissante.
En déduire que {f} est DSE sur {[0,a[}.