Séries entières
Exercices corrigés sur le thème « Séries entières »

Oral Centrale) On s’intéresse aux séries entières dont les coefficients valent 0 ou 1 et à l’ensemble des complexes z qui annulent une telle série entière.

➡️

Série entière et matrice circulante

(Oral Centrale) On définit une famille de séries entières, base de l’espace des solutions de

{y^{(n)}=y}

. On calcule un déterminant circulant associé.

➡️

Série entière et suite de Fibonacci

(Oral Centrale) On définit la suite de Fibonacci et une suite de polynômes associés. On étudie ensuite une série entière reliée à cette suite de polynômes.

➡️

Une somme (bis) de série entière

(Oral Centrale) On définit une série entière. Après en avoir déterminé le rayon de convergence, on en calcule la somme par une méthode d’équation différentielle.

➡️

Somme d’une série entière

(Oral Centrale) On calcule ici la somme d’une série entière, par des techniques de calcul intégral et d’interversion somme/intégrale. Très classique.

➡️

Série entière à coefficients factoriels

(Oral Centrale) On étudie une série entière de somme

{f}

. Après résolution d’une équation différentielle linéaire, on calcule

{f}

aux bornes de l’intervalle de convergence.

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Série génératrice d’une récurrence linéaire

(Oral Centrale) On étudie la série entière génératrice d’une récurrence linéaire d’ordre 3. Par plusieurs points de vue, on résout cette récurrence.

➡️

Série des inverses des nombres de Catalan

(Oral Centrale) On définit la suite des nombres de Catalan

{c_n}

. Par des méthodes de séries entières, on calcule la somme de la série des

{1/c_n}

et des

{n/c_n}

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Suites récurrentes et produit de Cauchy

(Oral Centrale) On définit une suite numérique par récurrence forte. Par des arguments de séries entières, on obtient une expression explicite du terme général.

➡️

Autour des polynômes de Bernoulli

(Oral Centrale) On définit la suite des polynômes de Bernoulli par itération d’un endomorphisme continu de

{\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})}

muni de la norme infinie.

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Opérateur Δ sur les polynômes

(Oral Centrale). À l’aide de l’opérateur

{\Delta}

sur les polynômes, on étudie les séries entières de la forme

{\sum P(n)x^n}

, où

{P}

est un polynôme donné.

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Série entière des ln(n)x^n

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}

.
Soit

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}H_n x^{n}}

{g(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \ln (n) x^{n}}

Donner le rayon de

{f}

{g}

, et calculer

{f(x)}

.
Montrer que

{f(x) \underset{1}\sim g(x)}

et trouver

{\displaystyle\lim_{-1}g(x)}

➡️

Série entière à la Wallis

(Oral Mines-Ponts)
Pour tout

{n\ge\mathbb{N}}

, on pose

{a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \cos^{n}t\,\text{d}t}

.
Étudier la série entière

{\displaystyle\sum_{n\ge0}a_nx^n}

➡️

Limite d’une suite récurrente

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a_{n})}

une suite telle que

{a_{0}=1}

et :

{\forall\, n\geq1,\;\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{a_{k}}{(n-k)!}=1\quad(\star)}

Montrer que, pour tout

{n\in \mathbb{N}}

{a_{n}\in \lbrack 0,1]}

.
Calculer la limite de la suite

{(a_{n})}

➡️

Intégrale à paramètre et série entière

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\text{e}^{-t\sin x}\,\text{d}x}

est solution de

{(E) : ty^{\prime \prime}+y^{\prime }-ty+1=0}

Solutions de

{(E)}

développables en série entière ?
En déduire

{\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\sin^{n}(x)\,\text{d}x}

pour tout

{n\in \mathbb{N}}

➡️

Développabilité en série entière

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{C}^\infty[0,a[}

, à dérivées toutes positives.
Soit

{R_{n}(x)}

e son reste intégral d’ordre

{n}

sur

{[0,x]}

.
Montrer que

{x\mapsto R_{n}(x)/x^{n+1}}

est croissante.
En déduire que

{f}

est DSE sur

{[0,a[}

➡️

Séries entières trigonométriques

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{\theta \in\,]0,\pi[}

. On pose :

{f(z)\!=\!\!\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\cos n\theta}{n}z^{n}\,\text{et}\,g(z)\!=\!\!\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\sin n\theta }{n}z^{n}}

Rayon et somme de ces deux séries entières.

➡️

Une série et un rayon de convergence

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{F(x)=\!\displaystyle\int_0^x\!\! \sin(t^2)\text{d}t}

{a_n=\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\!\!\!\!\sin(t^2)\text{d}t}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum a_n}

converge, et que

{\displaystyle\lim_{+\infty}F}

existe.
Déterminer le rayon de convergence

{R}

{\displaystyle\sum a_n x^n}

➡️

Étude au bord du disque de convergence

(Oral Centrale)
Soit

{(a_{n})}

une suite réelle telle que

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}na_{n}=0}

.
Montrer que le rayon de

{\displaystyle\sum a_{n}x^{n}}

est

{R\ge1}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }a_{n}x^{n}=o(\ln (1\!-\!x))}

quand

{x\rightarrow 1^{-}}

➡️

Séries entières et intégrales

(Oral Centrale)
Soit

{R>0}

le rayon de convergence de

{S(z)=\displaystyle\sum a_{n}z^{n}}

.
Pour

{r\in \lbrack 0,R[}

, on montre que :

{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|a_{k}|^{2}r^{2k}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi }|S(re^{i\theta })|^{2}\,d\theta}

On voit deux méthodes très différentes.

➡️

Série de fonctions ou série entière ?

(Oral Mines-Ponts)
Domaine et régularité de

{f:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2}+x^{2}}}

Montrer que

{f}

est développable en série entière.
Quel est le rayon de convergence?

➡️

Quelques rayons de convergence

Cinq exercices sur le thème « Rayon de convergence de séries entières ».

➡️

Deux développements usuels

Par des techniques de 1ère année, on retrouve les développements de

{\exp(x)}

et de

{\ln(1\!-\!x)}

➡️

Suite récurrente et série génératrice

(Oral Centrale 2018)
Soit

{(u_{n})}

une suite telle que :

{\forall\,n\geq 3,\;u_{n}=6u_{n-1}-11u_{n-2}+6u_{n-3}}

.
Montrer :

{\exists\,c\geq 0,\;\forall\,n\in\mathbb{N},\;|u_{n}|\leq c\,8^{n}}

.
Trouver le rayon

{R}

et la somme

{S}

{\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}x^{n}}

➡️

Nombres de Bell

(Oral Centrale 2018)
On pose

{u_{0}=1}

et :

{\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}u_{k}}

.
Écrire une fonction Python calculant

{u_n}

.
Conjecturer la valeur de

{\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum\limits_{k\ge 0}\dfrac{k^{n}}{k!}}

.
Prouver cette conjecture. Calculer

{f(x)=\displaystyle\sum\dfrac{u_{n}}{n!}x^n}

➡️

Nilpotence et trace des puissances

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

avec

{\mathrm{tr}(A^{k})=0}

pour tout

{k\ge1}

.
Montrer que

{A}

est nilpotente (deux méthodes).

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Équation différentielle et prolongement

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit l’équation différentielle

{(E)}

{2xy'+y=\dfrac{1}{1-x}}

.
Résoudre

{(E)}

sur

{]-\infty ,0[}

{]0,1[}

{]1,+\infty \lbrack}

.
Montrer que

{(E)}

a une unique solution sur

{]-\infty ,1[}

.
Montrer que cette solution est

{\mathcal{C}^{\infty}}

➡️

Série entière (très) lacunaire

(Oral Mines-Ponts 2018)
Préciser le rayon de convergence de

{f(x)=\displaystyle\sum x^{2^{n}}}

.
Donner un équivalent de

{f(x)}

quand

{x\to1}

➡️

Étude locale d’une série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
Calculer le rayon

{R}

{f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n\geq 1}\tan \left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) x^{n}}

.
Convergence en

{\pm \ R}

? Déterminer

{\displaystyle\lim_{x\to1}(1-x)f(x)}

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Série entière et dérangements

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{D_{n}}

le nombre de permutations de

{\{1,\ldots,n\}}

sans point fixe (par convention,

{D_0=1}

).
Soit la série entière

{f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{D_{n}}{n!}x^{n}}

.
Montrer

{\displaystyle\sum\limits_{p=0}^{n}\dbinom{n}{p}D_{p}=n!}

et calculer

{e^{x}f(x)}

.
En déduire

{D_{n}}

sous forme de somme alternée.

➡️

Série entière et nombres de Catalan

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose

{a_{0}=1}

et :

{\forall\,n\in\mathbb{N},\;a_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}a_{n-k}}

.
Calculer

{a_{n}}

pour tout

{n\in\mathbb{N}}

➡️

Série entière et suite récurrente

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose

{a_{0}=a_{1}=1}

puis

{a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}

.
Que peut-on dire du rayon

{R}

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n}

?
Trouver

{f(x)}

et exprimer les

{a_{n}}

à l’aide d’une somme.

➡️

Série entière et intégrale

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!\dfrac{e^{-t}\,\text{d}t}{1-x\sin ^{2}t}}

existe si

{x\lt1}

.
Développer

{f}

en série entière en

{0}

➡️

Série de fonctions et série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}}

est développable en série entière sur

{]-1,1[}

➡️

Série entière à coefficient intégrale

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{a_{n}=\displaystyle\int_{n}^{+\infty}\dfrac{\mathrm{th}t}{t^{2}}\,\text{d}t}

. Rayon

{R}

{\displaystyle\sum a_{n}x^{n}}

puis convergence en

{\pm R}

➡️

Duo de séries entières

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(u_{n})}

une suite bornée, et

{S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k}

.
Rayons de

{u(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}\;\text{et}\;S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{S_{n}}{n!}x^{n}}

.
Relation entre

{u'}

{S'}

{S}

.
Calcul de

{\displaystyle\lim_{+\infty}S(x)e^{-x}}

quand

{u_{n}=(-1)^{n}}

➡️

f(x,y) = (sin x – sin y)/(sh x- sh y)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Ensemble de définition de

{f(x,y)=\dfrac{\sin x-\sin y}{\text{sh} x-\,\text{sh} y}}

.
Montrer que

{f}

se prolonge sur

{\mathbb{R}^{2}}

➡️

Condition de nullité d’une série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{f(z)=\displaystyle\sum a_{n}z^{n}}

de rayon

{R\ne0}

.
On suppose qu’il existe une suite

{(z_{p})}

{\mathbb{C}^*}

tendant vers

{0}

, telle que

{f(z_{p})=0 }

pour tout

{p}

.
Montrer que

{f}

est nulle.

➡️

Équivalent d’une série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose

{a_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^{k}}{k+1}}

{f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^{n}}

.
Déterminer le rayon de

{f}

, et

{\displaystyle\lim_{+\infty}e^{-x}f(x)}

.
En déduire un équivalent de

{f}

{+\infty}

➡️

DSE d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Préciser le domaine de

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{t\,\text{d}t}{x+e^{t}}}

.
Montrer que

{f}

est développable en série entière

➡️

Une équation différentielle

(Oral Centrale Mp)
On étudie une solution particulière de

{(1-x)^3y''(x)=y(x)}

➡️

Polynômes et suite de Fibonacci

(Oral Centrale Mp)
Étude des

{P_n(x)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1-x^{F_k})}

, où les

{F_k}

forment la suite de Fibonacci.

➡️

{S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}

, où

{u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}

➡️

Série de Taylor non suffisante

On pose

{f(x)=\exp\Big(-\dfrac1{x^2}\Big)}

pour

x\ne 0

, et

{f(0)=0}

. Montrer que

{f}

est

{\mathcal{C}^{\infty}}

sur

{\mathbb{R}}

et que

{\forall\, n\in\mathbb{N},\;f^{(n)}(0)=0}

, mais que

f

n’est pas développable en série entière

➡️