Suites récurrentes et produit de Cauchy

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On définit une suite {(a_{n})_{n\ge0}} par {a_{0}=a_{1}=1} et :
{\forall\, n\ge1,\;a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\,a_{k}\,a_{n-k}}On définit la série entière {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^{n}}.

Question 1.a
Montrer que le rayon de convergence {R} de {f(x)} est au moins égal à {1}.
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Question 1.b
Montrer que {f} satisfait sur {]\!-\!R,R\,[} à une équation différentielle très simple.
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Question 1.c
En déduire, pour tout {x\in\,]\!-\!R,R\,[} : {f(x)=\tan\Bigl(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\Bigr)=\dfrac{1}{\cos x}+\tan x}On admet que {R=\dfrac{\pi}{2}}.
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On va obtenir une formule donnant {a_{n}} sous la forme d’une double somme finie.

Question 2.a
Montrer que, pour tout {x} de {\Bigl]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\Bigr[}, on a : {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{(n+1)!}\,x^{n+1}=-\ln(1-\sin x)}
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Question 2.b
Pour {(p,n)\in\mathbb{N}^{2}}, on pose :{B_{p}^{n}(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{p}\dbinom{p}{k}(-1)^{k}(X-2k)^{n}}Montrer que si {n\lt p} alors {B_{p}^{n}(X)=0}
(utiliser l’opérateur {T :P(X)\mapsto P(X\!-\!1)}).
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Question 2.c
Utiliser ce qui précède pour obtenir : {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{(n+1)!}\,x^{n+1}=\displaystyle\sum_{p=1}^{+\infty}\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} \dfrac{\,i^{n-p}\,x^{n}}{p\,2^{p}\,n!}B_{p}^{n}(p)}

Indications : DSE de {\ln(1-t)}, puis {\sin x} en fonction de {\text{e}^{ix}}, puis DSE de {\text{e}^{z}}.

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Question 2.d
En admettant la possibilité d’intervertir les deux sommes précédentes, montrer que :{\forall\, n\in\mathbb{N},\;a_{n}=i^{n+1}\displaystyle\sum_{p=1}^{n+1}\dfrac{B_{p}^{n+1}(p)}{p\,(2i)^{p}}}
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