Séries entières à coefficients 0 ou 1

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {E} l’ensemble des suites {a=(a_n)_{n\ge0}} vérifiant
{a_0=1\;\text{et}:\;\forall\,n \in \mathbb{N}^*,\;a_n \in \{0,1\}}Pour {a \in E}, on note {f_a(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n}.

On note enfin {Z=\{ z \in \mathbb{C},\;\exists\, a \in E,\;f_a(z)=0 \}}.

Question 1
Soit {a=(a_n) \in E}.
Quel est le rayon de convergence de {f_a}?
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Question 2.a
Soit {a \in E} et {z \in \mathbb{C}} tel que {|z|\lt 1}. Montrer que : {\Big|f_a(z)-1-\dfrac{z}{2(1-z)}\Big| \leq \dfrac{|z|}{2(1-|z|)}}
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Question 2.b
En déduire : {\begin{cases}z \in Z\\|z|\lt 1\end{cases}\Rightarrow\Big| \dfrac{2-z}{1-z} \Big| \leq \dfrac{|z|}{1-|z|}}
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Question 2.c
Montrer que si {z \in Z} est de module strictement supérieur à {1} alors {1/z \in Z}.
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Question 3
Montrer que {1} n’est pas dans {Z} mais est dans son adhérence.
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On note {\alpha} la racine négative de {X^2-X-1}.

Question 4.a
Montrer que {\alpha \in Z}.
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Question 4.b
On fixe {z \in\, ]\!-\!1,\alpha]}. Soit {B=[-1,-z]}.
Montrer que {B \subset (z+zB) \cup zB}.
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Question 4.c
En partant de {b_0=-1} et en itérant l’inclusion précédente, montrer que {z \in Z}.
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