Exercice (oral Centrale/Supélec)
Soit {E} l’ensemble des suites {a=(a_n)_{n\ge0}} vérifiant
{a_0=1\;\text{et}:\;\forall\,n \in \mathbb{N}^*,\;a_n \in \{0,1\}}Pour {a \in E}, on note {f_a(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n}.
On note enfin {Z=\{ z \in \mathbb{C},\;\exists\, a \in E,\;f_a(z)=0 \}}.
| Question 1 Soit {a=(a_n) \in E}. Quel est le rayon de convergence de {f_a}? |
| Question 2.a Soit {a \in E} et {z \in \mathbb{C}} tel que {|z|\lt 1}. Montrer que : {\Big|f_a(z)-1-\dfrac{z}{2(1-z)}\Big| \leq \dfrac{|z|}{2(1-|z|)}} |
| Question 2.b En déduire : {\begin{cases}z \in Z\\|z|\lt 1\end{cases}\Rightarrow\Big| \dfrac{2-z}{1-z} \Big| \leq \dfrac{|z|}{1-|z|}} |
| Question 2.c Montrer que si {z \in Z} est de module strictement supérieur à {1} alors {1/z \in Z}. |
| Question 3 Montrer que {1} n’est pas dans {Z} mais est dans son adhérence. |
On note {\alpha} la racine négative de {X^2-X-1}.
| Question 4.a Montrer que {\alpha \in Z}. |
| Question 4.b On fixe {z \in\, ]\!-\!1,\alpha]}. Soit {B=[-1,-z]}. Montrer que {B \subset (z+zB) \cup zB}. |
| Question 4.c En partant de {b_0=-1} et en itérant l’inclusion précédente, montrer que {z \in Z}. |